Serie e successioni
Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere questo esercizio, qualcuno potrebbe aiutarmi?
quello che ho pensato è:
2)V, la serie an si comporta come [formule] $ 2^n/3^n $ [/formule] che dimostro convergere grazie al criterio della radice di conseguenza la serie è assolutamente convergente
1)V poiché la serie converge, an dovrà essere infinitesima e di conseguenza limitata
3)F, so che [formule] $ lim_(n->+∞) an=0 $ [/formule] trovo quel valore m t.c. $ AA $ n>=m |an| ≤ 1/100, a questo punto scelgo il valore maggiore che trovo prima che la successione sia uguale a zero, quello è il massimo
4)so che an oscilla tra valori positivi e negativi e che tende a 0, qualsiasi n scelga la funzione continuerà ad oscillare nonostante tenda ad assumere valori sempre più vicini a 0, il che vuol dire che avrò sempre un valore positivo dopo un qualsiasi n scelto.
spero di essere stat chiara, mi rendo conto che soprattutto le ultime due riflessioni sono molto poco rigorose ma non sono riuscita a trovare un modo per giustificare l'idea intuitiva. Potreste dirmi se le riposte che ho dato ai vero e falso sono giuste e se le giustificazioni hanno senso (e magari come renderle più rigorose)?
Grazie a tutti
sto cercando di risolvere questo esercizio, qualcuno potrebbe aiutarmi?
Si consideri la successione {an}n∈N di termine generale an= $ (-1)^(n-1)(2^n+n)/(3^n-sqrt(n) $ , dire se:
1) {an}n∈N è inferiormente limitata;
2)la serie $ sum an $ è assolutamente convergente;
3)L’insieme A={an : |an| ≤ 1/100 } non ammette massimo
4)Per ogni n∈ N risulta supan >0
quello che ho pensato è:
2)V, la serie an si comporta come [formule] $ 2^n/3^n $ [/formule] che dimostro convergere grazie al criterio della radice di conseguenza la serie è assolutamente convergente
1)V poiché la serie converge, an dovrà essere infinitesima e di conseguenza limitata
3)F, so che [formule] $ lim_(n->+∞) an=0 $ [/formule] trovo quel valore m t.c. $ AA $ n>=m |an| ≤ 1/100, a questo punto scelgo il valore maggiore che trovo prima che la successione sia uguale a zero, quello è il massimo
4)so che an oscilla tra valori positivi e negativi e che tende a 0, qualsiasi n scelga la funzione continuerà ad oscillare nonostante tenda ad assumere valori sempre più vicini a 0, il che vuol dire che avrò sempre un valore positivo dopo un qualsiasi n scelto.
spero di essere stat chiara, mi rendo conto che soprattutto le ultime due riflessioni sono molto poco rigorose ma non sono riuscita a trovare un modo per giustificare l'idea intuitiva. Potreste dirmi se le riposte che ho dato ai vero e falso sono giuste e se le giustificazioni hanno senso (e magari come renderle più rigorose)?
Grazie a tutti
Risposte
Ciao sofia123,
Per la 1) considererei le sottosuccessioni di posto dispari e di posto pari della successione proposta $ a_n = (-1)^(n-1)(2^n+n)/(3^n-\sqrt(n)) $: si vede subito che per $n $ dispari la sottosuccessione è sempre positiva; per $n $ pari invece la sottosuccessione è sempre negativa. Per la sottosuccessione di posto dispari positiva il valore massimo si ottiene per $n = 1$, poi decresce; per la sottosuccessione di posto pari negativa il valore minimo si ottiene per $n = 1 $, poi cresce.
Per la 2) osserverei che la serie assoluta è senz'altro convergente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} |a_n| = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2^n+n}{3^n - \sqrt{n}} = 3/2 + \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{2^n+n}{3^n - \sqrt{n}} <= 3/2 + \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{2^n+n}{e^n} = $
$ = 3/2 + \sum_{n = 2}^{+\infty} (\frac{2}{e})^n + \sum_{n = 2}^{+\infty} n (\frac{1}{e})^n = 3/2 + \frac{4}{e(e - 2)} + (2e - 1)/(e(e - 1)^2) ~~ 4 $
Per la 1) considererei le sottosuccessioni di posto dispari e di posto pari della successione proposta $ a_n = (-1)^(n-1)(2^n+n)/(3^n-\sqrt(n)) $: si vede subito che per $n $ dispari la sottosuccessione è sempre positiva; per $n $ pari invece la sottosuccessione è sempre negativa. Per la sottosuccessione di posto dispari positiva il valore massimo si ottiene per $n = 1$, poi decresce; per la sottosuccessione di posto pari negativa il valore minimo si ottiene per $n = 1 $, poi cresce.
Per la 2) osserverei che la serie assoluta è senz'altro convergente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} |a_n| = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2^n+n}{3^n - \sqrt{n}} = 3/2 + \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{2^n+n}{3^n - \sqrt{n}} <= 3/2 + \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{2^n+n}{e^n} = $
$ = 3/2 + \sum_{n = 2}^{+\infty} (\frac{2}{e})^n + \sum_{n = 2}^{+\infty} n (\frac{1}{e})^n = 3/2 + \frac{4}{e(e - 2)} + (2e - 1)/(e(e - 1)^2) ~~ 4 $
grazie!
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