Serie e successioni

[Sk_Anonymous]

Una successione è per definizione una legge che associa ad ogni elemento di $NN$, oppure a ogni elemento di $NN$ successivo a un certo numero naturale, un solo elemento di $RR$. Per le successioni esistono le definizioni di convergenza, divergenza e irregolarità.

Una serie di termini a1,a2,a3,... è per definizione una legge che associa ad ogni elemento di $NN$ o a ogni elemento di $NN$ successivo a un certo numero naturale rispettivamente i numeri a1,a1+a2,a1+a2+a3,.....

Quindi da ciò si deduce che una serie di certi termini è anche una successione. Innanzitutto vi chiedo: esistono successioni che non sono serie di certi termini?

Poi l'altra domanda è questa: se una serie è anche una successione, che senso ha dare per le serie le definizioni di convergenza, divergenza ecc...se queste definizioni già esistono per le successioni?

[vict85]

Si definiscono le varie definizioni perché una serie è un oggetto costruito su una successione che è associato alla successione delle somme parziali. La definizione di serie è di fatto quella di somma formale degli elementi di una successione. Non confondere le due cose, una serie non è una successione, ma gli si associa una successione per permettere di fare calcoli.

Comunque ogni successione può essere vista come successione di somme parziali di un'altra successione (in generale non positiva).

[Plepp]

"vict85":una serie non è una successione

@Lisdap: di fatto una serie di termine generale $a_n$ è definita* come la coppia ordinata $(\{\a_n},\{s_n\})$, dove
\[s_n:=\sum_{i=0}^na_i\]
è la successione delle somme parziali associata alla successione $\{a_n\}$.

Detto ciò, le nozioni di convergenza e divergenza devono necessariamente essere definite per le serie, senza grande sforzo, d'altra parte, giacché si riconduce tutto alle nozioni analoghe di convergenza e divergenza definite per le successioni.

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[size=85]*quantomeno questa è la definizione che conosco io. 'Sti "fatti formali" si possono dire in millemila modi, ma è solo la forma del discorso che cambia, non la sua sostanza.[/size]