Serie e estermo superiore
Ciao!
Mi ero dimenticato di aver saltato questo esercizio, guardando il forum mi è tornato in mente...
Siano \( c\geqq 0 \) e \( 0<\rho<1 \) due numeri reali; sia \( \left(c_n\right) \) una successione limitata, con le immagini in \( \left[0,c\right] \).
Voglio provare che l'insieme \( \left\{s_n:n\in\mathbb{N}\right\} \) degli out della successione \( \left(s_n\right) \) che manda ogni naturale (zero è un naturale) nella somma \( c_0\rho^0+c_1\rho^1+\dots+c_n\rho^n \), è limitato superiormente, e che il suo \( \sup \) è \( 1/(c-\rho) \) se e solo se \( c=c_i \) per ogni \( i\in\mathbb{N} \).
Diciamo che le uniche considerazione che al momento riesco a fare sono che, se posto \( \gamma_n=c_n\rho^n \), intuitivamente (non posso usare i limiti) è \( \gamma_{n+1}<\gamma_{n} \), quando \( n \) è molto "grande": questo vuol dire che sto aggiungendo cose - positive - sempre più piccole, e che prima o poi \(\sum_{i=1}^\infty{\gamma_i} \) convergerà... oltre a questo - cosa inutile per l'esercizio - non mi viene altro.
Ho allora provato ad assumere
\[
c_0+c_1\rho+\dots+c_n\rho^n > \frac{c}{1-\rho}
\]
ottentendo
\[
\frac{c_0}{c}+\frac{c_1}{c}\rho+\dots+\frac{c_n}{c}\rho^n > \frac{1}{1-\rho}
\]
dove anche tutti i \( c_i/c \) sono minori dell'unità; ma ho il vuoto, quindi vi chiedo qualche suggerimento.
Mi ero dimenticato di aver saltato questo esercizio, guardando il forum mi è tornato in mente...
Siano \( c\geqq 0 \) e \( 0<\rho<1 \) due numeri reali; sia \( \left(c_n\right) \) una successione limitata, con le immagini in \( \left[0,c\right] \).
Voglio provare che l'insieme \( \left\{s_n:n\in\mathbb{N}\right\} \) degli out della successione \( \left(s_n\right) \) che manda ogni naturale (zero è un naturale) nella somma \( c_0\rho^0+c_1\rho^1+\dots+c_n\rho^n \), è limitato superiormente, e che il suo \( \sup \) è \( 1/(c-\rho) \) se e solo se \( c=c_i \) per ogni \( i\in\mathbb{N} \).
Diciamo che le uniche considerazione che al momento riesco a fare sono che, se posto \( \gamma_n=c_n\rho^n \), intuitivamente (non posso usare i limiti) è \( \gamma_{n+1}<\gamma_{n} \), quando \( n \) è molto "grande": questo vuol dire che sto aggiungendo cose - positive - sempre più piccole, e che prima o poi \(\sum_{i=1}^\infty{\gamma_i} \) convergerà... oltre a questo - cosa inutile per l'esercizio - non mi viene altro.
Ho allora provato ad assumere
\[
c_0+c_1\rho+\dots+c_n\rho^n > \frac{c}{1-\rho}
\]
ottentendo
\[
\frac{c_0}{c}+\frac{c_1}{c}\rho+\dots+\frac{c_n}{c}\rho^n > \frac{1}{1-\rho}
\]
dove anche tutti i \( c_i/c \) sono minori dell'unità; ma ho il vuoto, quindi vi chiedo qualche suggerimento.
Risposte
Beh, $c_0+...+c_nrho^n <= c*(1+...+rho^n)=c * (1-rho^(n+1))/(1-rho)$, quindi...
Sì, mi piace.
Domani pubblico la mia soluzione, ora ho sonno.
Grazie mille
Domani pubblico la mia soluzione, ora ho sonno.
Grazie mille
La somma \( c_i\rho^i \) è superiormente limitata da \( (c-c\rho^{n+1})/\left(1-\rho\right) \); è \( 0
Per quanto riguarda il secondo punto della dimostrazione, provo ad iniziare da (\( \Leftarrow \)). Sia \( 1/(c-\rho) \) l'estremo superiore degli \( s_n \). Se per qualche naturale \( i \) fosse \( c_i
Se (\( \Rightarrow \)) per ogni naturale consideriamo \( c_n=c \), dall'assunzione precedente si evince che \( 1/(c-\rho) \) è un maggiorante per gli \( s_n \). Ne sia \( \mu \) minore stretto: allora dobbiamo dimostrare che esiste un \( i \) che \( \mu
\rho^i<1-\frac{\mu(1-\rho)}{c}
\]
Il secondo membro è sempre positivo, in quanto è stato assunto \( \mu<1/(c-\rho) \), ed è [2] \( 1/(c-\rho)
i>\log_\rho\left(1-\frac{\mu(1-\rho)}{c}\right)
\]
per la decrescenza del logaritmo a base in \( \left]0,1\right[ \). \( \square \)
[1] In conclusione, credo che quella disuguaglianza si provi con qualche calcolo algebrico, e credo sia il tassello che manca per completare la dimostrazione.
[2] In realtà non sono convinto nemmeno di questo, ma mi sembra evidente che è giusto, anche se ora non ho voglia di verificarlo.
Sarei felice di sentire un parere da qualcuno su questi passaggi, se 'sta cosa è leggibile.
Per quanto riguarda il secondo punto della dimostrazione, provo ad iniziare da (\( \Leftarrow \)). Sia \( 1/(c-\rho) \) l'estremo superiore degli \( s_n \). Se per qualche naturale \( i \) fosse \( c_i
Se (\( \Rightarrow \)) per ogni naturale consideriamo \( c_n=c \), dall'assunzione precedente si evince che \( 1/(c-\rho) \) è un maggiorante per gli \( s_n \). Ne sia \( \mu \) minore stretto: allora dobbiamo dimostrare che esiste un \( i \) che \( \mu
\rho^i<1-\frac{\mu(1-\rho)}{c}
\]
Il secondo membro è sempre positivo, in quanto è stato assunto \( \mu<1/(c-\rho) \), ed è [2] \( 1/(c-\rho)
i>\log_\rho\left(1-\frac{\mu(1-\rho)}{c}\right)
\]
per la decrescenza del logaritmo a base in \( \left]0,1\right[ \). \( \square \)
[1] In conclusione, credo che quella disuguaglianza si provi con qualche calcolo algebrico, e credo sia il tassello che manca per completare la dimostrazione.
[2] In realtà non sono convinto nemmeno di questo, ma mi sembra evidente che è giusto, anche se ora non ho voglia di verificarlo.
Sarei felice di sentire un parere da qualcuno su questi passaggi, se 'sta cosa è leggibile.
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