Serie e Derivate
Avrei due esercizi che non riesco a svolgere...
1) Siano $ P(n)=n^10-sum_{k=1}^9kn^k $ , $ Q(n)=sum_{k=1}^8n^k $ e $ R(n)=(P(n))/(Q(n)) $ . Studiare la convergenza di $ sum_{n=45}^infty(-1)^n(x^2+2x)^(logR(n)) $ al variare di $ x $ .
2) Dimostra. Sia $ f:(0;+infty)->RR $ due volte derivabile e tale che:
(a) $ xf(x)->0 $
(b) $ xf''(x)->0 $
(per $ x->+infty $ )
Allora $ xf'(x)->0 $ .
Per l'1) ho pensato di trovare l'asintotico a $ R(x) $ e procedere con il metodo di condensazione per la convergenza assoluta e Leibniz per quella semplice...
Per il 2) avrei pensato di usare gli sviluppi di Taylor ma non so proprio come impostarlo...
Qualcuno può aiutarmi?... Grazie in anticipo...
1) Siano $ P(n)=n^10-sum_{k=1}^9kn^k $ , $ Q(n)=sum_{k=1}^8n^k $ e $ R(n)=(P(n))/(Q(n)) $ . Studiare la convergenza di $ sum_{n=45}^infty(-1)^n(x^2+2x)^(logR(n)) $ al variare di $ x $ .
2) Dimostra. Sia $ f:(0;+infty)->RR $ due volte derivabile e tale che:
(a) $ xf(x)->0 $
(b) $ xf''(x)->0 $
(per $ x->+infty $ )
Allora $ xf'(x)->0 $ .
Per l'1) ho pensato di trovare l'asintotico a $ R(x) $ e procedere con il metodo di condensazione per la convergenza assoluta e Leibniz per quella semplice...
Per il 2) avrei pensato di usare gli sviluppi di Taylor ma non so proprio come impostarlo...
Qualcuno può aiutarmi?... Grazie in anticipo...
Risposte
da un rapido conto la serie dovrebbe convergere assolutamente per
\[\ln|x^2+2x|<\frac{1}{2}\]
\[\ln|x^2+2x|<\frac{1}{2}\]
Potresti spiegarmi brevemente come hai ragionato?
@Pierluigi.
Sul primo,fermo restante la condizione necessaria per la convergenza d'una qualunque serie numerica,
mi pare che sei sulla strada giusta ma occorre,ad occhio,
un pò di pazienza nei conti ed i criteri di confronto(gli "originali" non quelli asintotici):
a tal proposito poni attenzione al fatto che il termine generale di quella serie richiede che $x<=-2$ o $x>=0$ per essere ben definito..
Sul secondo,se t'è nota la teoria sugli integrali estesi ad intervalli illimitati,
puoi arrivare a desumere quanto richiesto partendo da $int_1^(+oo) [xf'(x)+f(x)] dx$ ed usando solo il primo limite assunto(ed uno da esso immediatamente deducibile..)e la condizione necessaria per la convergenza di siffatti integrali impropri
(rendendo la seconda ipotesi inutilmente restrittiva,come d'altronde il fatto che hai $"inf"dom_f=0$ e che $45$ è il primo indice di quella serie numerica..)!
Saluti dal web.
Sul primo,fermo restante la condizione necessaria per la convergenza d'una qualunque serie numerica,
mi pare che sei sulla strada giusta ma occorre,ad occhio,
un pò di pazienza nei conti ed i criteri di confronto(gli "originali" non quelli asintotici):
a tal proposito poni attenzione al fatto che il termine generale di quella serie richiede che $x<=-2$ o $x>=0$ per essere ben definito..
Sul secondo,se t'è nota la teoria sugli integrali estesi ad intervalli illimitati,
puoi arrivare a desumere quanto richiesto partendo da $int_1^(+oo) [xf'(x)+f(x)] dx$ ed usando solo il primo limite assunto(ed uno da esso immediatamente deducibile..)e la condizione necessaria per la convergenza di siffatti integrali impropri
(rendendo la seconda ipotesi inutilmente restrittiva,come d'altronde il fatto che hai $"inf"dom_f=0$ e che $45$ è il primo indice di quella serie numerica..)!
Saluti dal web.
Ti ringrazio per la risposta ma, per quanto riguarda il secondo esercizio, gli integrali non posso ancora usarli... dovrei risolverlo senza...
Qualcuno può aiutarmi a risolvere il secondo esercizio?
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