Serie e criterio del rapporto
salve ragazzi e da due giorni che faccio le serie e ho delle difficolta sul criterio del rapporto e sopratutto non capisco come mi devo comportare con i fattoriale ad esempio
\$\sum_{n=1}^infty n^n/(n!)$ grazie in anticipo a tutti....
\$\sum_{n=1}^infty n^n/(n!)$ grazie in anticipo a tutti....
Risposte
se la serie è questa
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)}
\end{align}
c'è qualcosa che non va ....
hai che, essendo a termini positivi, possiamo applicare il criterio del confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)}&= \frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}\ln\left( \frac{n^2+1}{n}\right)}\sim\frac{n^{\alpha}}{\sqrt 5 n \ln\left( \frac{n^2 }{n}\right)}\sim\\
&\sim\frac{n^{\alpha}}{ n \ln n}=\frac{1}{n^{1-\alpha}\ln n}\to\mbox{converge se $1-\alpha>1,\alpha<0$}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)}
\end{align}
c'è qualcosa che non va ....
hai che, essendo a termini positivi, possiamo applicare il criterio del confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)}&= \frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}\ln\left( \frac{n^2+1}{n}\right)}\sim\frac{n^{\alpha}}{\sqrt 5 n \ln\left( \frac{n^2 }{n}\right)}\sim\\
&\sim\frac{n^{\alpha}}{ n \ln n}=\frac{1}{n^{1-\alpha}\ln n}\to\mbox{converge se $1-\alpha>1,\alpha<0$}
\end{align}
si la serie è cosi ma sono spezzati n elevato ad alpha su 5n2... e poi 1 sul ln cambia.. qualcosa hai fini delle equivaleze ?
ecco perchè bisogna imparare ad usare le formule .... è questa?
\begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}}\cdot\frac{1}{\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)}\right) \end{align}
\begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}}\cdot\frac{1}{\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)}\right) \end{align}
Sisi perfetto
In mezzo c'e un per no una somma
ma cosa centra se c'è un $\cdot$ tra i due fattori.... ma sarà uguale no?
\begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}}\cdot\frac{1}{\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)} \end{align}
\begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}}\cdot\frac{1}{\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{\alpha}}{(5n^2+4n+1)^{1/2}\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)} \end{align}
Era per essere precisi comunque le equivalenze vanno bene come le ho fatte?
quella del logaritmo no....ti ho fatto tutti i passaggi a posta per confrontare
Perche no ? Non capisco c'e la radice e prendo il fattore piu grande poi c'e il log se raccolgo la
N diventa come forma log n (1+1/n^2) e sbagliato?
N diventa come forma log n (1+1/n^2) e sbagliato?
il passaggio algebrico è corretto, ma
\begin{align}
\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)=\ln\left[n\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\right]=\ln n+\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right) \stackrel{+\infty}{\sim} \ln n
\end{align}
\begin{align}
\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)=\ln\left[n\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\right]=\ln n+\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right) \stackrel{+\infty}{\sim} \ln n
\end{align}
Ln ( 1 + 1/n^2) non equivale ad 1 su n^2?
si e quando $n\to+\infty$ mi sembra vada a zero...e a noi interessano gli infiniti dominanti....
Non ti capisco... 
cosa non capisci?
Perche equivale ad ln n
calcola il limite
\[\lim_{n\to+\infty} \ln\left(n+\frac{1}{n}\right)\]
\[\lim_{n\to+\infty} \ln\left(n+\frac{1}{n}\right)\]
Fa meno infinito
ma in base a cosa??
Niente scusa fa 0
ma no!! va a $+\infty$ ...
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