Serie e criterio del rapporto
salve ragazzi e da due giorni che faccio le serie e ho delle difficolta sul criterio del rapporto e sopratutto non capisco come mi devo comportare con i fattoriale ad esempio
\$\sum_{n=1}^infty n^n/(n!)$ grazie in anticipo a tutti....
\$\sum_{n=1}^infty n^n/(n!)$ grazie in anticipo a tutti....
Risposte
un'altra cosa \$\sum_{n=1}^infty (tan^-1 (n))/(n^2+1)$ ho usato il criterio del confronto asintotico ho fatto che tan^-1 (n) equivale ad arctg(n) che equiavale ad n sotto n^2+1 equivale ad n^2 e mi viene fuori la serie armonica che diverge giusto?
per poter applicare il criterio del rapporto, devi assicurarti di avere una serie a termini positivi: nel tuo primo caso siamo certamente difronte ad una serie a termini positivi dunque il criterio è applicabile:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^n}{n!}&\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\cdot \frac{n!}{(n+1)!}\\
&=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n }\cdot (n+1)}{n^n}\cdot \frac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n }\cdot (n+1)}{n^n}\cdot \frac{n!}{n!(n+1) } \\
&=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e>l>1\to\mbox{diverge}
\end{align}
per la seconda serie
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arctan n}{n^2+1}
\end{align}
hai che anche in questo caso si tratta di una serie a termini positivi, e dunque si può applicare in criterio del confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{\arctan n}{n^2+1} \sim \frac{\frac{\pi}{2}}{n^2}\to\mbox{converge}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^n}{n!}&\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\cdot \frac{n!}{(n+1)!}\\
&=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n }\cdot (n+1)}{n^n}\cdot \frac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n }\cdot (n+1)}{n^n}\cdot \frac{n!}{n!(n+1) } \\
&=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e>l>1\to\mbox{diverge}
\end{align}
per la seconda serie
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arctan n}{n^2+1}
\end{align}
hai che anche in questo caso si tratta di una serie a termini positivi, e dunque si può applicare in criterio del confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{\arctan n}{n^2+1} \sim \frac{\frac{\pi}{2}}{n^2}\to\mbox{converge}
\end{align}
non capisco i passaggi della prima seria, il criterio del rapporto dice che di fare il lim che tede ad inf di an+1/an ma non capisco i passaggi che devo fare,
ti ho fatto tutti i passaggi a posta ....
hai che $a_{n+1}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$ e che $\frac{n^n}{n!}$ allora
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}} {\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^n}\]
poi devi solo applicare le proprietà delle potenze, e la definizione di fattoriale
hai che $a_{n+1}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$ e che $\frac{n^n}{n!}$ allora
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}} {\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^n}\]
poi devi solo applicare le proprietà delle potenze, e la definizione di fattoriale
perche (1+n)! lo fai diventare n!(1+n)
per definizione di fattoriale....
ok un'altra cosa se ho log(n+1/n) equivale ad 1/n? ho raccolto la n e mi viene log n(n+1/n^2) questo equivale ad 1/n^2?
\[\ln\left(n+\frac{1}{n}\right)=\ln\left( \frac{n^2+1}{n}\right)\sim \ln\left( \frac{n^2 }{n}\right)=\ln n \]
grazie mille!! per quanto riguarda queste equivalenze non capisco soltnto una cosa nel criterio del rapporto asintotico le devo fare sempre che tendono ad infinito sia per l'integrale improprio sia per la seria
a parte che è criterio del confronto asintotico, e non del rapporto asintotico 
, per le serie si, ha senso fare i confronti asintotici solo a $+\infty,$ essendo l'unico punto di accumulazione per l'insieme $\NN$ dei numeri naturali, ambiente in cui vivono le serie (e le successioni); per gli integrali impropri, che vivono in qualsiasi sottoinsieme di $\RR,$ devi fare, quando ciò è possibile, il confronto asintotico a qualsiasi punto di accumulazione del dominio della funzione integranda.
, per le serie si, ha senso fare i confronti asintotici solo a $+\infty,$ essendo l'unico punto di accumulazione per l'insieme $\NN$ dei numeri naturali, ambiente in cui vivono le serie (e le successioni); per gli integrali impropri, che vivono in qualsiasi sottoinsieme di $\RR,$ devi fare, quando ciò è possibile, il confronto asintotico a qualsiasi punto di accumulazione del dominio della funzione integranda.
ecco io mi confondo qui la mia professoressa e fissata con ste cose vuole che utiliziamo solo queste equivalenze come faccio a capire quando applicarle per x tendente ad infinito o a zero per gli integrali
dalla funzione integranda e dagli estremi di integrazione
in che senso dagli estremi?
se gli estremi di integrazione creano problemi alla funzione integranda, tipo $+\infty$ o un punto $x_0$ in cui la funzione integranda non è definita allora si parla di integrale improprio in quei punti e devi vedere se la funzione risulta integrabile in senso improprio con ad esempio il confronto asintotico
ok ho capito l'ultima cosa 
mi puoi dire le propireta dei fattoriali perche ho capito come si applica il criterio del rapporto ma trovo difficoltà a rendere piu semplici i fattoriali
mi puoi dire le propireta dei fattoriali perche ho capito come si applica il criterio del rapporto ma trovo difficoltà a rendere piu semplici i fattoriali
La definizione di fattoriale è
\begin{align} n! := \left\{ \begin{matrix}1 \quad&&\mbox{se } n=0; \\ n(n-1)! &&\mbox{se } n\ge1~.\end{matrix} \right. \end{align}
dunque dalla definizione discende:
\[(n+1)!=n!(n+1)\]
\begin{align} n! := \left\{ \begin{matrix}1 \quad&&\mbox{se } n=0; \\ n(n-1)! &&\mbox{se } n\ge1~.\end{matrix} \right. \end{align}
dunque dalla definizione discende:
\[(n+1)!=n!(n+1)\]
ok questo l'ho capito da quello che hai scritto prima, esiste solo questa proprietà per quanto riguarda i fattoriali nella risoluzione della serie?
e se questo l'avevi capito, non mi facevi scrivere due pagine per spiegarti una semplificazione ...
infatti l'ho capito dopo che tu l'hai spiegato :):) e ti ringrazio
:):) e ti ringrazio
mi sono imbattuto in questa serie (non riesco a scriverla con i codici 
)
cerco di essere chiaro, la serie è al variare di alpha allora.
n^alpha 1
-------------- ---------- serie(infinito,1) (1 e al denominatore del secondo termine)
(5n^2+4n+1)^1/2 log(n+1/n)
allora ho applicato il criterio asintotico e ho fatto che radice (5n^2+4n+1) equivale 5n in tutto
il log ho raccolto la n quindi facendo l'eqivalenza viene 1/n in tutto
quindi alla fine viene n^alpha/5 e ora che devo fare?? ditemi se ho sbagliate ad applicare l'equivalenze grazie
)cerco di essere chiaro, la serie è al variare di alpha allora.
n^alpha 1
-------------- ---------- serie(infinito,1) (1 e al denominatore del secondo termine)
(5n^2+4n+1)^1/2 log(n+1/n)
allora ho applicato il criterio asintotico e ho fatto che radice (5n^2+4n+1) equivale 5n in tutto
il log ho raccolto la n quindi facendo l'eqivalenza viene 1/n in tutto
quindi alla fine viene n^alpha/5 e ora che devo fare?? ditemi se ho sbagliate ad applicare l'equivalenze grazie
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