Serie e convergenza uniforme

[studente_studente]

Ciao!

1) Devo vedere se la serie $ \sum _{n=0}^{infty }\(1+x^2)e^{-nx} $ converge su $I=(0,1)$, nel libro da come giustificazione che la serie non converge perché tutti i termini della serie sono limitati a $(0,1)$ mentre la funzione somma $ (1+x^2) e^x/(e^x-1) $ non lo è.

Ma che vuol dire? In questo caso io ho la funzione somma solo se x>0 (dato che ho una serie geometrica) e l'intervallo rientra tutto in x>0. Concettualmente ci sono che la funzione somma, se esistesse da sola, avrebbe un dominio molto più grande di I ma non capisco ugualmente.. Che ragionamento dovrei fare?

2) Come faccio a vedere se la serie $ \sum _{n=0}^{infty }(-1)^n e^{x-n} $ converge uniformemente su R?
Io ho fatto così:
(Ho già calcolato la funzione somma ed è $e^(1+x)/ (e+1)$)
$ lim_(n->infty) "sup"_(x in R)" " |\sum _{n=0}^{N}(-1)^n e^(x-n)- e^(1+x)/(e+1)|= lim_(n->infty) "sup"_(x in R)" " e^x |\sum _{n=0}^{N}(-1)^n e^(-n)- e/(e+1)| $
Ma ora come vado avanti?

Grazie in anticipo per l'aiuto!!

[otta96]

Per il primo problema non ho capito cosa c'è che non va, se l'esercizio ti chiede se converge in $(0,1)$ hai finito, per il secondo una volta arrivato dove sei arrivato tu dovresti maggiorare quel sup con qualcosa che non dipende da x, chiaramente però ci sarà qualche ipotesi sul dominio da fare.