SERIE E CONVERGENZA

[kaya84]

devo discutere la convergenza della serie 1 a infinito di (sin(1/n)-1/n con n elevato alla alfa....al variare di alfa in r...devo discutere i casi in cui : alfa minore uguale a 0,0

[david_e1]

Non ho capito quale serie vuoi studiare... questa:

$ \sum_{n=1}^\infty sin(1/(n^\alpha)) - 1/(n^\alpha) $

o questa:

$ \sum_{n=1}^\infty (sin(1/n)-1/n)^\alpha $

[Sk_Anonymous]

"david_e":Non ho capito quale serie vuoi studiare... questa:

$ \sum_{n=1}^\infty sin(1/(n^\alpha)) - 1/(n^\alpha) $

o questa:

$ \sum_{n=1}^\infty (sin(1/n)-1/n)^\alpha $

Notoriamente $\sin(x) - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$, per $x \to 0$. Perciò la prima serie converge (confronto asintotico + criterio di Leibniz) sse $\frac{1}{n^{3\alpha}} \to 0$, per $n \to \infty$, i.e. sse $\alpha > 0$. In quanto alla seconda, è evidente che, per generici valori reali del parametro $\alpha$, l'espressione $(\sin(1/n) - 1/n)^\alpha$ non è ben definita in campo reale, per cui il problema neppure si pone...

[david_e1]

"DavidHilbert":[quote="david_e"]Non ho capito quale serie vuoi studiare... questa:

$ \sum_{n=1}^\infty sin(1/(n^\alpha)) - 1/(n^\alpha) $

o questa:

$ \sum_{n=1}^\infty (sin(1/n)-1/n)^\alpha $

Notoriamente $\sin(x) - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$, per $x \to 0$. Perciò la prima serie converge (confronto asintotico + criterio di Leibniz) sse $\frac{1}{n^{3\alpha}} \to 0$, per $n \to \infty$, i.e. sse $\alpha > 0$. In quanto alla seconda, è evidente che, per generici valori reali del parametro $\alpha$, l'espressione $(\sin(1/n) - 1/n)^\alpha$ non è ben definita in campo reale, per cui il problema neppure si pone...[/quote]
Hai perfettamente ragione... se ci avessi riflettuto di piú avrei capito il testo. Ciò non toglie che il testo iniziale fosse abb. nebuloso...

[Sk_Anonymous]

"david_e":
Hai perfettamente ragione... [...] Ció non toglie che il testo iniziale fosse abb. nebuloso...

Non posso che essere d'accordo su tutto. Eccezion fatta per quell'accento acuto...

[david_e1]

"DavidHilbert":[quote="david_e"]
Hai perfettamente ragione... [...] Ció non toglie che il testo iniziale fosse abb. nebuloso...

Non posso che essere d'accordo su tutto. Eccezion fatta per quell'accento acuto... [/quote]
Corretto!