[Serie] Dubbio criterio del confronto asintotico
Ragazzi ho un dubbio riguardo all'enunciato del criterio del confronto asintotico, che dice:
"date le serie $sum a_n$ e $sum b_n$ a termini positivi.. sono asintotiche se $lim_{n \to \infty}a_n/b_n = l != 0$ "
quindi il risultato del limite deve essere finito e diverso da 0 o va bene anche infinito??
Riguardo al seguente quesito vi mostro un esercizio che ho svolto:
$\sum_{n=1}^infty 1 / (sqrt(n)(1+n))$
dato che
$lim_{n \to \infty} n^2 / (n^(1/2) + n^(3/2))= +infty$
$\sum_{n=1}^infty 1 / (sqrt(n)(1+n)) ~ sum_{n=1}^infty 1 / n^2 $
quindi la serie è convergente.
Secondo voi è giusto??
grazie
"date le serie $sum a_n$ e $sum b_n$ a termini positivi.. sono asintotiche se $lim_{n \to \infty}a_n/b_n = l != 0$ "
quindi il risultato del limite deve essere finito e diverso da 0 o va bene anche infinito??
Riguardo al seguente quesito vi mostro un esercizio che ho svolto:
$\sum_{n=1}^infty 1 / (sqrt(n)(1+n))$
dato che
$lim_{n \to \infty} n^2 / (n^(1/2) + n^(3/2))= +infty$
$\sum_{n=1}^infty 1 / (sqrt(n)(1+n)) ~ sum_{n=1}^infty 1 / n^2 $
quindi la serie è convergente.
Secondo voi è giusto??
grazie
Risposte
qual è il motivo del secondo passaggio? hai che
\[\frac {1}{n^{\frac{1}{2}}\left(1+n\right)}=\frac {1}{n^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{3}{2}}}\sim\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\]
e da qui concludi ....
\[\frac {1}{n^{\frac{1}{2}}\left(1+n\right)}=\frac {1}{n^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{3}{2}}}\sim\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\]
e da qui concludi ....
Non va bene $infty$. Il limite dev'essere finito; va bene come scritto da Noisemaker.
Il motivo del secondo passaggio era dimostrare che è asintotico alla seconda serie.. comunque ho capito, deve essere finito, grazie!
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