Serie: dov'è l'errore?
Devo calcolare la somma della seguente serie: [tex]${\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{5}{\sqrt{2^{n}}}}$[/tex]
Inizio:
[tex]${\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{5}{\sqrt{2^{n}}}}=5{\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2^{n}}}={\displaystyle 5\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}}}$[/tex]
Pongo [tex]{\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}}}$[/tex] = (1)
Ora trascuriamo un attimo questa serie e studiamo invece la serie: [tex]${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}}$[/tex] (2)
Questa è una serie geometrica la la cui ragione è $>0$ e $<1$, pertanto converge a
[tex]$\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$[/tex]
Calcoliamo i primi 3 addendi della serie (2):
[tex]a_{0}=1[/tex]
[tex]a_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]a_{2}=\frac{1}{(\sqrt{2})^{2}}=\frac{1}{2}[/tex]
Possiamo scrivere che la serie (1) è uguale alla serie (2) a cui ho tolto i primi $3$ addendi (facendola quindi partire da $3$):
[tex]${\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}=\left({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}}\right)-1-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}$[/tex]
Sostituendo nella serie (2) (a destra) la sua somma, otteniamo la somma della serie (1) (sinistra)
[tex]\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}-1-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}[/tex]
Non riportato tutti i passaggi, comunque se qualcuno è interessato posso anche metterli.
Pertanto la mia serie originaria, quella da cui ero partito dovrebbe convergere a:
[tex]$\frac{5\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}$[/tex]
Dov'è che sbaglio? Il risultato mi viene errato. Help!
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[tex]${\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{5}{\sqrt{2^{n}}}}=5{\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2^{n}}}={\displaystyle 5\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}}}$[/tex]
Pongo [tex]{\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}}}$[/tex] = (1)
Ora trascuriamo un attimo questa serie e studiamo invece la serie: [tex]${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}}$[/tex] (2)
Questa è una serie geometrica la la cui ragione è $>0$ e $<1$, pertanto converge a
[tex]$\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$[/tex]
Calcoliamo i primi 3 addendi della serie (2):
[tex]a_{0}=1[/tex]
[tex]a_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]a_{2}=\frac{1}{(\sqrt{2})^{2}}=\frac{1}{2}[/tex]
Possiamo scrivere che la serie (1) è uguale alla serie (2) a cui ho tolto i primi $3$ addendi (facendola quindi partire da $3$):
[tex]${\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}=\left({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}}\right)-1-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}$[/tex]
Sostituendo nella serie (2) (a destra) la sua somma, otteniamo la somma della serie (1) (sinistra)
[tex]\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}-1-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}[/tex]
Non riportato tutti i passaggi, comunque se qualcuno è interessato posso anche metterli.
Pertanto la mia serie originaria, quella da cui ero partito dovrebbe convergere a:
[tex]$\frac{5\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}$[/tex]
Dov'è che sbaglio? Il risultato mi viene errato. Help!
Risposte
Io di errori non ne vedo... 
Qual è il risultato riportato sul libro?
Qual è il risultato riportato sul libro?
Ti ringrazio per avermi risposto. Il risultato dovrebbe essere [tex]$\frac{5}{2(\sqrt{2}-1)}$[/tex]. Non è un esercizio di un libro ma un tema d'esame .....
Guarda che sono esattamente la stessa cosa:
$(5sqrt(2))/(2sqrt(2)(sqrt(2)-1))=5/(2(sqrt(2)-1))$
$(5sqrt(2))/(2sqrt(2)(sqrt(2)-1))=5/(2(sqrt(2)-1))$
A mia discolpa, è l'ansia da esame che mi fa fare certe cose
Comunque scusate se vi ho fatto perdere tempo inutilmente, grazie ancora delle risposte
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