Serie divergente implica infinitesimi??

[pizzi]

è giusta questa affermazione?
$ sum f(n)/g(n) text{ diverge} rArr g(n)=o(f(n)) $
l'ho pensata prima mentre tornavo a casa...però non so se è giusta..come si potrebbe dimostrare?? bisogna aggiungere l'ipotesi che sia una serie a termini non negativi immagino...però non riesco a convincermi sia giusta... anche perché ho forti dubbi che l'implicazione possa anche essere al contrario!
qualcuno può aiutarmi??

[salvozungri]

Non credo sia corretta come implicazione. E' sufficiente prendere come controesempio [tex]f(n)=g(n)=n\implies \sum \frac{f(n)}{g(n)} = \infty[/tex] ma [tex]\lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{f(n)} =1[/tex]

[dissonance]

In linea di massima, data una serie numerica l'unica informazione che puoi ricavare sul comportamento al limite del proprio termine generale è: (la serie converge) $=>$ (il termine generale è infinitesimo). Ad esempio la tua affermazione è falsa: $sum 1/n$ diverge ma certamente non è vero che $n=o(1)$.

Un vecchio libro di Konrad Knopp, Theory and application of infinite series, che ho sfogliato su suggerimento di Principi di analisi matematica di Rudin, parla tra le altre cose di questo argomento al §41. Se sei curioso puoi provare a dare un'occhiata, è un testo vecchio di quasi cento anni quindi tutti i diritti sono scaduti ed è visionabile liberamente su Internet presso questo archivio: http://www.archive.org/index.php . Buona lettura.

[pizzi]

e l'implicazione al contrario invece potrebbe funzionare?? ovviamente aggiungendo qualche ipotesi..
e grazie dissonance!..ora me lo sfoglio anche se non so quanto riuscirò a capire..

[dissonance]

L'implicazione al contrario direi che può valere (si, devi aggiungere qualche ipotesi, almeno per escludere la divisione per zero), perché se $g_n=o(f_n)$, ovvero se $(g_n)/(f_n)\to0$, sarà difficile che possa essere $(f_n)/(g_n)\to0$, ovvero la condizione necessaria alla convergenza.
In particolare se le due successioni sono positive il secondo rapporto tende a $+\infty$, quindi ampiamente la serie diverge.

Con successioni di segno variabile potresti avere che il secondo limite non esiste, quindi la serie non converge ma potrebbe non essere regolare (tuttalpiù prova a trovare un esempio al riguardo).
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Questo topic mi ha portato a sfogliare il Knopp. Ho trovato che la mia affermazione di prima

In linea di massima, data una serie numerica l'unica informazione che puoi ricavare sul comportamento al limite del proprio termine generale è: (la serie converge) ⇒ (il termine generale è infinitesimo).

non è vera almeno in un caso, che però è piuttosto comune: se $sum a_n$ converge e $a_n$ è positiva e monotona decrescente, allora $n a_n \to 0$, ovvero $a_n=o(1/n)$. Vedi Knopp §80, pag.124. Attenzione che questo è falso se $a_n$ non è monotona decrescente.

[pizzi]

beh ma pensavo di mettere come ipotesi $f_n/g_n>0$ in modo da escludere eventuali serie irregolari..e appunto per la divisione per zero...

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an..e grazie mille per le risposte e la segnalazione di quel libro! molto interessante!