Serie divergente

[perplesso1]

Ciao a tutti, ho questo esercizio

Sia $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ una serie divergente e supponiamo che $0
La mia idea sarebbe quella di considerare la somma ennesima

$s_n = a_1 /{A_1} + ... + a_n / {A_n}$

e confrontarla con $A_n$ che sappiamo tendere all'infinito. Ho provato con le disugualianze aritmetico-geometrico-armoniche ma non arrivo a niente. Ho provato a fare delle ipotesi su $a_k$ (visto che su questa successione non so niente) tipo che $a_k$ è limitata oppure a termini positivi etc etc... ma non ci riesco lo stesso. Sicuramente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua. Se mi date un suggerimento lo accetto volentieri. Grazie mille.

[Noisemaker]

Criterio di Abel ...

Poichè la serie $ \sum_{n=1}^{\infty}a_n $ diverge, si ha:
\begin{align}
\ln {A_n}-\ln{A_{n-1}} = \ln\left(1+\frac{a_k}{A_{n-1}}\right)\le \frac{a_k}{A_{n-1}},\,\,\,\text{ poichè $\ln(1+x)\le x;$}
\end{align}
allora avremo:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{A_{n-1}}\ge\sum_{n=1}^{n}\ln {A_n}-\ln{A_{n-1}}=\ln {A_n}-\ln{A_{n-1}};
\end{align*}
facendo tendere $n$ all'infito, e osservando che $\ln S_n\to+\infty$ dato che la serie $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ diverge, si conclude che anche la serie $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{A_{n-1}}$ è divergente .