Serie: dimostra che non c'è convergenza uniforme

[Gaal Dornick]

Data:

$sum_(n=1)^(+oo) frac{sin (nx)}{n^2x^2+1}

si dimostri che per ogni $epsilon>0$ non si ha convergenza uniforme su $[-epsilon,epsilon]$

ci sarà come al solito un "trucco" o una cosa che non ho notato..
se può servire..in un altro punto dell'esercizio si domostra che c'è convergenza assoluta su $RR$ e totale su $[epsilon,+oo)$

[Fioravante Patrone1]

come "trucco" mi pare si possa prendere $x=1/n$

[Gaal Dornick]

Allora: cerchiamo di dirlo bene..

sia $f_n:[-epsilon,epsilon]->RR$ $f_n(x)=frac{sin(nx)}{n^2x^2+1}$
visto che è definita in un compatto è limitata

valuto ${||f_n||}_(n in NN)$
definitivamente $||f_n||>=f_n(1/n)=sin(1)/2$
quindi $||f_n||$ non può essere infinitesima, e quindi non c'è convergenza uniforme in $[-epsilon,epsilon]$

ok?

P.S.: eh, se c'avessi pensato durante lo scritto..
invece m'ero impuntato sulla continuità delle somme parziali..e della somma della serie?