Serie di un logaritmo con parametro

[Liyus]

ho bisogno di un aiuto con lo svolgimento di questa serie:
$\sum_{n=2}^infty log(1+((-1)^n)/n^\alpha)$
per $\alpha > 0$
Per quali $\alpha$ la serie converge e diverge.
io ho pravato in questo modo, ma non mi viene corretto....
Quindi per verificare la convergenza devo inanzitutto verificare che la serie definita positiva,
per $n = 2k$ con $k>=1$ abbiamo che $log$ è positivo, ma per $n = 2k+1$ con $k>=1$abbiamo $log$ è negativo $kinNN-{0}$
questo vuol dire che la serie non è definita positiva, quindi devo trasformarla in una serie positiva:
$\sum_{n=2}^infty log(1+((-1)^n)/n^\alpha)={(log(1+(1)/n^\alpha)>=0 if AAn = 2k, k>=1 ),(log(n^\alpha/(n^\alpha -1))>=0 if AAn = 2k+1, k>=1 ):}$
quindi nel primo caso
$log(1+(1)/n^\alpha)~(1)/n^\alpha$ quindi $\sum_{n=2}^infty (1)/n^\alpha$ converge per $\alpha > 1$
il secondo caso
$log(n^\alpha/(n^\alpha -1)) = log(1+ 1/(n^\alpha -1))~1/(n^\alpha -1)$ il che converge anche questo per $\alpha > 1$

le soluzioni sono:
Converge per $\alpha > 1/2$
Diverge per $\alpha <= 1/2$
ma non riesco a capire come procedere per lo svolgimento

[gugo82]

@ Liyus: prova a scrivere esplicitamente qualche somma parziale, tipo cinque/sei… Può darsi che la serie sia un po’ telescopica.