Serie di termine \((-1)^n\sin(1/n)\)

[laura1232]

per $n in NN$ $sin(1/n)$ è decrescente in quanto $1/n$ è una successione decrescente limitata tra $0$ e $1$ ed essendo la funzione $sin y$ crescente in tale intervallo, la sua combinazione con una funzione decrescente è una funzione decrescente. Di conseguenza si può applicare il criterio di Leibniz.

[Sk_Anonymous]

Se \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \ge x>y \ge 0 \) non dovrebbe essere \(\displaystyle \sin (x) > \sin (y) \)? Su \(\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2} \right] \) la funzione seno è crescente, e siccome \(\displaystyle \frac{1}{n} \in \left[0;\frac{\pi}{2} \right] \ \forall n \; \in \mathbb{N} \)...

[Sk_Anonymous]

Sì, volevo dissentire Probabilmente sono stato un po' criptico, ma il mio voleva essere un suggerimento su come ultimare, sull'onda della stessa idea di laura123 (di cui peraltro non avevo visto il messaggio).

... Siccome \(\displaystyle \frac{1}{n} \in \left[ 0;\frac{\pi}{2}\right] \) e \(\displaystyle \frac{1}{n} \to 0 \) se \(\displaystyle n \to +\infty \) con \(\displaystyle \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} >0 \ \forall n \in \mathbb{N} \), allora \[\displaystyle \sin (1/n) > \sin(1/(n+1)) >0 \ \forall n \in \mathbb{N} \] in virtù delle considerazioni fatte sopra.

[21zuclo]

devo dire che questo di Sergio era un bel quesito!.. All'inizio pure io non ci avevo pensato. Complimenti sia a laura123 che a Delirium

[Sk_Anonymous]

Visto che siamo in tema - spero che Sergio non me ne voglia! -... Cosa si può dire invece di \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{|\sin (n)|}{n} \]?

E' da qualche giorno che ci penso, ma non ho cavato nulla...

[gugo82]

@Delirium: Mmmm... Di solito queste serie qui vanno trattate usando il Criterio di Dirichlet:

Siano \((a_n),(b_n)\) due successioni reali.
Se:

[list=1]
[*:3tg4hoil] \((a_n)\) è decrescente,

[/*:m:3tg4hoil]
[*:3tg4hoil] \(\lim_n a_n=0\),

[/*:m:3tg4hoil]
[*:3tg4hoil] \(\sum b_n\) ha le somme parziali limitate, i.e. se esiste un \(M\geq 0\) tale che:
\[
\forall N\in \mathbb{N},\quad \sum_{n=1}^N b_n \leq M\; ,
\][/*:m:3tg4hoil][/list:o:3tg4hoil]

allora la serie \(\sum a_nb_n\) converge.

Vedi da te che tale criterio è una generalizzazione del classico Criterio di Leibniz (infatti basta prendere \(b_n=(-1)^n\) per ottenere Leibniz da Dirichlet).
Ovviamente, nel nostro caso converrà prendere \(a_n=1/n\) e \(b_n=(-1)^n |\sin n|\): infatti, dato che \(a_n\) è certamente decrescente ed infinitesima, per invocare il Criterio di Dirichlet basta dimostrare che \(\sum b_n\) ha le somme parziali limitate.
Tuttavia al momento non mi viene niente in mente... Certo si potrebbe scrivere:
\[
\sin n = \frac{e^{\imath n}-e^{-\imath n}}{2\imath}
\]
ma ciò non mi sembra aiuti, per la presenza del modulo.
Ci si dovrebbe pensare un po'.

[Sk_Anonymous]

Sì, avevo pensato ad Abel-Dirichlet, ma mi sono bloccato per gli stessi motivi...