Serie di Taylor...è giusta?
Ciao a tutti
sto facendo questo esercizio:
sia f(x)=$x^2 sen(x+pi)$, scrivere la serie di Taylor di f centrata in $x_0=0$ e trovare l'insieme in cui converge.
io ho posto $x+pi=t$ e consideraro lo sviluppo noto $sent=\sum_{n=0}^oo (-1)^n*( t^(2n+1))/((2n+1)!)$
la serie è dunque: $x^2\sum_{n=0}^oo (-1)^n*((x+pi)^(2n+1))/((2n+1)!)$
Per trovare l'insieme in cui tale serie converge:
$\lim_{n \to \infty} |(a_n+1)/a_n|$ dove $a_n=1/((2n+1)!)$
$\lim_{n \to \infty} |(1/((2n+2)!))/(1/((2n+1)!))|=0$
$r=1/l=1/0=oo$ la serie converge $AA x in RR $
Secondo voi è corretta?
Fatemi sapere...grazie mille!!
sto facendo questo esercizio:
sia f(x)=$x^2 sen(x+pi)$, scrivere la serie di Taylor di f centrata in $x_0=0$ e trovare l'insieme in cui converge.
io ho posto $x+pi=t$ e consideraro lo sviluppo noto $sent=\sum_{n=0}^oo (-1)^n*( t^(2n+1))/((2n+1)!)$
la serie è dunque: $x^2\sum_{n=0}^oo (-1)^n*((x+pi)^(2n+1))/((2n+1)!)$
Per trovare l'insieme in cui tale serie converge:
$\lim_{n \to \infty} |(a_n+1)/a_n|$ dove $a_n=1/((2n+1)!)$
$\lim_{n \to \infty} |(1/((2n+2)!))/(1/((2n+1)!))|=0$
$r=1/l=1/0=oo$ la serie converge $AA x in RR $
Secondo voi è corretta?
Fatemi sapere...grazie mille!!
Risposte
"bius88":
sia f(x)=$x^2 sen(x+pi)$, scrivere la serie di Taylor di f centrata in $x_0=0$ [...]
la serie è dunque: $x^2\sum_{n=0}^oo (-1)^n*((x+pi)^(2n+1))/((2n+1)!)$
Scusa, ma questa ti pare una serie di potenze centrata in $0$?
Per risolvere correttamente basta tener presente che (per un fatto banale di trigonometria) si ha $sin (x+pi)=-sinx$.
salve a tutti...poco meno di due mesi fa ero riuscito a risolvere la serie (grazie a gugo82 che mi ha corretto quell'errore banale!) ma ora, riguardandola, mi è venuto un dubbio:
essendo $x^2 sen(x+\pi)=-x^2 senx$ la serie è dunque: $-x^2\sum_{n=0}^oo (-1)^n*((x)^(2n+1))/((2n+1)!)$ e portando dentro $x^2$ abbiamo:
$-\sum_{n=0}^oo (-1)^n*((x)^(2n+3))/((2n+1)!)$
Quello che vorrei sapere è se nella serie ci vuole il $(-1)^n$.
Poichè nello sviluppo noto che ho considerato: $sent=\sum_{n=0}^oo (-1)^n*( t^(2n+1))/((2n+1)!)$ il$(-1)^n$ è presente, io l'ho inserito.
Qual è quella corretta?
Grazie!
essendo $x^2 sen(x+\pi)=-x^2 senx$ la serie è dunque: $-x^2\sum_{n=0}^oo (-1)^n*((x)^(2n+1))/((2n+1)!)$ e portando dentro $x^2$ abbiamo:
$-\sum_{n=0}^oo (-1)^n*((x)^(2n+3))/((2n+1)!)$
Quello che vorrei sapere è se nella serie ci vuole il $(-1)^n$.
Poichè nello sviluppo noto che ho considerato: $sent=\sum_{n=0}^oo (-1)^n*( t^(2n+1))/((2n+1)!)$ il$(-1)^n$ è presente, io l'ho inserito.
Qual è quella corretta?
Grazie!
Certo che ci va.
Perchè ti è venuto questo dubbio?
Perchè ti è venuto questo dubbio?
Perchè il prof mi ha dato l'appello svolto e, guardando l'esercizio della serie, ho notato che la soluzione è:
$-\sum_{n=0}^oo ((x)^(2n+3))/((2n+1)!)$ invece di $-\sum_{n=0}^oo (-1)^n*((x)^(2n+3))/((2n+1)!)$
$-\sum_{n=0}^oo ((x)^(2n+3))/((2n+1)!)$ invece di $-\sum_{n=0}^oo (-1)^n*((x)^(2n+3))/((2n+1)!)$
Secondo me si tratta di un "errore di stampa"... Vagli a chiedere.
Ok...lo farò.
Grazie!
Grazie!
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