Serie di taylor nota di $ln(1+x)$

[bius88]

qual è la serie di taylor della f(x)= $ln(1+x)$?
alcune volte trovo:$\sum_{n=0}^oo (-1)^n (x^(n+1)/(n+1))$, altre: $\sum_{n=1}^oo (-1)^(n-1)/n x^(n)$.
quale devo usare??
Grazie 1000

[alle.fabbri]

Sono giuste entrambe. Se nella prima provi a fare la sostituzioni $n=m-1$ ottieni l'altra come somma su $m$ e visto che è un indice di sommatoria lo puoi chiamare di nuovo $n$ e sei a posto.... Quale delle due usare dipende solo dal contesto in cui sei. E' come scegliere una variabile di integrazione piuttosto che un'altra, cambia poco.

[bius88]

ok..dunque per esempio $ln(1+2x)$ diventa:$\sum_{n=0}^oo (-1)^n ((2x)^(n+1)/(n+1))$??

[alle.fabbri]

Esatto!

[bius88]

ok.....grazie!!

[bius88]

un'altra cosa: se $f(x) = cosx$ la serie è $\sum_{n=0}^oo (-1)^n (x^(2n)/((2n)!))$ per la $f(x)= 2x-cos(4x^2)$ centrata in $x_0 =0$ la serie è
$2x-\sum_{n=0}^oo (-1)^n (4x^(4n)/((2n)!))$ ??