Serie di Taylor e Serie di potenze

[Linux1987]

Salve sto un pò in confusione, qualcuno mi spiega la differenza tra serie di taylor e serie di potenze?

[ciampax]

Sono la stessa cosa, o meglio: quando si parla di Taylor è preferibile parlare di "polinomio", cioè della serie troncata ad un certo ordine di sviluppo e alla quale si somma un resto. La serie, invece, rappresenta la somma infinita, dove non ci si arresta e dove il resto risulta parte integrante dell'espressione.

In particolare, da un punto di vista tecnico, di solito sviluppare con Taylor serve ad avere informazioni locali su una funzione nota nell'intorno di un punto; quando si ha a che fare con una serie di potenze, invece, ci si chiede quando e come essa possa rappresentare una funzione non nota.

[Linux1987]

esempio : $ \sum_{n=1}^\infty 1/2^n*x^n $ è una serie di potenze ? che differenza c'è con una serie di taylor?

[ciampax]

Te l'ho scritto sopra: riflettici.

[Linux1987]

ho letto non mi e chiaro!!

[gugo82]

Cose che si dovrebbero sapere da Analisi II, ma vabbé.

Do un paio di definizioni, tanto per rinfrescare la memoria:

Siano \(z_0\in \mathbb{C}\) e \((a_n)\subseteq \mathbb{C}\) una successione.
La serie di funzioni (complesse di variabile complessa) del tipo:
\[
\sum a_n\ (z-z_0)^n
\]
si chiama serie di potenze di centro \(z_0\) e coefficienti \((a_n)\).

Siano \(\Omega\subseteq \mathbb{C}\) un aperto, \(f:\Omega \to \mathbb{C}\) e \(z_0\in \Omega\) un punto nel quale \(f\) è indefinitamente derivabile in senso complesso (nel senso che in \(z_0\) esistono derivate di \(f\) di ordine comunque elevato).
La serie di potenze di centro \(z_0\) che ha come coefficienti i numeri \(a_n(f;z_0):=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\), ossia la serie:
\[
\sum \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\ (z-z_0)^n\; ,
\]
si chiama serie di Taylor di \(f\) con centro in \(z_0\).
I numeri \(a_n(f;z_0)\) di cui sopra si chiamano coefficienti di Taylor di \(f\) in \(z_0\).

Confrontando le definizioni dovresti capire che le serie di Taylor sono particolari serie di potenze costruite a partire da funzioni assegnate; in altre parole, mentre per costruire una s.d.p. con centro in un determinato \(z_0\) puoi prendere una successione di coefficienti \((a_n)\) a casaccio, per costruire una serie di Taylor di centro \(z_0\) devi necessariamente scegliere come coefficienti i coefficienti di Taylor \(a_n(f;z_0)\) di qualche funzione.

Si prova, poi, il seguente importantissimo teorema:

Sia \(\sum a_n\ (z-z_0)^n\) una serie di potenze.
Se la serie converge in punti diversi da \(z_0\), allora essa converge all'interno di un ben determinato disco del piano complesso (ed eventualmente in tutto il piano) e non converge all'esterno di esso; in altre parole, esiste un unico \(r\in ]0,+\infty]\) tale che \( \sum a_n\ (z-z_0)^n \) converge in \(D(z_0;r):=\{z\in \mathbb{C}:\ |z-z_0|
Inoltre, la serie di potenze \(\sum a_n\ (z-z_0)^n\) è la serie di Taylor centrata in \(z_0\) della sua somma; in altre parole, posto:
\[
f(z):= \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-z_0)^n
\]
per \(z\in D(z_0;r)\), si ha:
\[
a_n = a_n(f;z_0) = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}
\]
per ogni indice \(n\in \mathbb{N}\).

P.S.: Gettato via le slide?
P.P.S.: Ti ho risposto nell'altro thread con degli esempi; spero tu li abbia letti e ci stia meditando sopra.

[Zero87]

Una serie di potenze è una generica serie del tipo
$\sum_(n=0)^\infty a_n (x-x_0)^n$,
in cui $a_n$ è un certo coefficiente intero/razionale/reale/complesso... insomma, un coefficiente.

La serie di Taylor è una serie di potenze la cui somma mi dà la funzione in questione (ammesso che sia $C^\infty$).
Una generica serie di Taylor di una funzione $C^\infty$ è, infatti,
$\sum_(n=0)^\infty \frac{f^((n)) (x_0)}{n!} (x-x_0)^n$.
In essa $\frac{f^((n))(x_0)}{n!}$ è un valore numerico dipendente dall'indice $n$ (una successione!) che possiamo indicare con $b_n$ ottenendo
$\sum_(n=0)^\infty \frac{f^((n)) (x_0)}{n!} (x-x_0)^n =\sum_(n=0)^\infty b_n (x-x_0)^n$ che è una serie di potenze.

Per variabili complesse ogni serie di potenze è una serie di Taylor (nell'intervallo di convergenza) mentre per variabili reali c'è qualche piccolo pasticcio dovuto al fatto, ad esempio, che esistono funzioni $C^\infty$ che non sono sviluppabili in serie di Taylor.

[Linux1987]

ecco questo volevo dire, ciampax mi aveva scritto che una serie di potenze e una serie di taylor sono la stessa cosa , ma questo non è esatto ovvero una serie di taylor è una particolare serie di potenze che ha come coefficienti le derivate n-sime della funzione in $x_0$ diviso il fattoriale di n . esatto?

[gugo82]

Esatto.

Per tornare al tuo esempio...

"pasqualinux":$ \sum_{n=1}^\infty 1/2^n*x^n $ è una serie di potenze?

Sì, perché è nella forma \(\sum a_n\ (z-z_0)^n\) con:
\[
a_n:= \begin{cases} 0 &\text{, se } n=0\\ \frac{1}{2^n} &\text{, se } n\geq 1\end{cases}
\]
e \(z_0=0\).

"pasqualinux":che differenza c'è con una serie di taylor?

Per stabilire se la tua serie è una serie di Taylor devi determinare una funzione \(f\) derivabile infinite volte in \(z_0=0\) e tale che:
\[
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} =\frac{1}{2^n}
\]
per ogni indice \(n\).
Visto l'ultimo teorema che ho citato nel post precedente, per determinare \(f\) basta cercare di sommare la serie; dato che:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\ z^n = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{z}{2}\right)^n = \left[1+\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{z}{2}\right)^n \right]-1 = \left[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{z}{2}\right)^n \right]-1\; ,
\]
e visto che la serie geometrica converge solo se la sua ragione è un numero complesso di modulo \(<1\), la serie assegnata converge nel cerchio \(D(0;2):=\{z\in \mathbb{C}:\ |z|<2\}\); la somma della serie è allora:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\ z^n = \left[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{z}{2}\right)^n \right]-1 = \frac{1}{1-\frac{z}{2}} -1 = \frac{z}{2-z} =:f(z)\; .
\]
La funzione \(f(z)\) ha:
\[
f^\prime (z) = \frac{2}{(2-z)^2},\ f^{\prime \prime}(z) = 2\ \frac{2}{(2-z)^3} ,\ f^{\prime \prime \prime}(z) = 2\cdot 3\ \frac{2}{(2-z)^4} =3!\ \frac{2}{(2-z)^4}
\]
e si prova per induzione (fallo!) che:
\[
f^{(n)}(z) = n!\ \frac{2}{(2-z)^{n+1}}
\]
sicché \( f\) è derivabile in senso complesso in \(0\) e risulta:
\[
\begin{split}
a_0(f;0) &= f(0)=0=a_0,\\
a_1(f;0) &=f^\prime (0) = \frac{1}{2}=a_1,\\
a_2(f;0) &=\frac{f^{\prime \prime} (0)}{2!} = \frac{1}{4}=a_2,\\
&\vdots \\
a_n(f;0) &= \frac{f^{(n)} (0)}{n!}=\frac{1}{2^n}=a_n\\
&\vdots
\end{split}
\]
cosicché la serie assegnata è proprio la serie di Taylor di \(f(z):=\frac{z}{2-z}\) centrata in \(0\).

[Linux1987]

quell'esempio me l'ero inventato, da solo, non c'era nessun esercizio da fare comunque i miei complimenti...
Quindi data una serie per definire se è di taylor cosa devo fare non mi è chiaro.. please un pò di pazienza!

[Linux1987]

Quindi data una funzione a patto che essa sia derivabile infinite volte è sempre possibile scrivere la sua serie di Taylor, ma non è detto che la somma della sua serie di taylor sia proprio la funzione sviluppata. In particolare abbiamo che una funzione che è somma della sua serie di taylor è una funzione analitica.
Esatto?

Adesso le serie di Taylor sono particolari serie di potenze.
Adesso quello che mi confonde è un teorema che ho sentito su 29elode da youtube che dice che tutte le serie di potenze sono serie di taylor della propria somma.
Cioè se una serie di potenze converge a una funzione f(x) , allora essa è una serie di taylordi f(x) esatto? per piacere aiutatemi sto in crisi XD
Data una serie di potenze che però non converge a una funzione f(x) essa non è una serie di taylor.
Però ogni funzione f(x) è sviluppabile in serie di taylor ammesso che sia derivabile infinite volte.

Spero di non essermi sbagliato.

[gugo82]

"pasqualinux":Quindi data una funzione a patto che essa sia derivabile infinite volte è sempre possibile scrivere la sua serie di Taylor, ma non è detto che la somma della sua serie di taylor sia proprio la funzione sviluppata. In particolare abbiamo che una funzione che è somma della sua serie di taylor è una funzione analitica.
Esatto?

Sì

"pasqualinux":Adesso le serie di Taylor sono particolari serie di potenze.

Sì.

"pasqualinux":Adesso quello che mi confonde è un teorema che ho sentito su 29elode da youtube che dice che tutte le serie di potenze sono serie di taylor della propria somma.
Cioè se una serie di potenze converge a una funzione f(x), allora essa è la serie di taylor di f(x) esatto?

Sì.

"pasqualinux":Data una serie di potenze che però non converge a una funzione f(x) essa non è una serie di taylor.

Certo.

"pasqualinux":Però ogni funzione f(x) è sviluppabile in serie di taylor ammesso che sia derivabile infinite volte.

No.

Di ogni funzione indefinitamente derivabile si può scrivere la serie di Taylor.
Però tale serie non è tenuta a convergere, né è tenuta (se converge) a convergere proprio verso la funzione che la "genera".

Dire che una funzione è sviluppabile in serie di Taylor in un punto significa dire che accadono insieme due cose: 1) che si può scrivere la serie di Taylor relativa alla funzione centrata nel punto e 2) che la serie converge proprio ad \(f\) in un intorno non banale del centro.

Un esempio (classico).
La funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} \exp \left( - \frac{1}{x^2}\right) &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
è derivabile infinite volte in ogni punto \(x\in \mathbb{R}\): questo è evidente se il punto \(x\) è diverso da \(0\); invece, se \(x=0\) si può dimostrare, usando un corollario del teorema di de l'Hopital, che le derivate della \(f\) esistono in \(0\), tutte sono continue e esse si annullano tutte in quel punto, cioé risulta:
\[
f(0)=f^\prime (0)=f^{\prime \prime} (0)=\cdots = f^{(n)}(0)=\cdots =0\; .
\]
Allora è evidente che puoi formare la serie di Taylor di \(f\) con centro in ogni punto \(x_0\in \mathbb{R}\).
Prendi allora il punto \(x_0=0\): la serie di Taylor di \(f\) centrata in \(0\) è quella che ha come coefficienti i coefficienti di Taylor di \(f\) in \(0\), cioè:
\[
a_n(f;0)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\; ;
\]
ma, come detto più sopra, le derivate di \(f\) si annullano tutte in \(0\), perciò risulta \(a_n(f;0)=0\) per ogni \(n\) e conseguentemente la serie di Taylor di \(f\) in \(0\) è:
\[
\sum_{n=0}^{\infty} a_n(f;0)\ x^n = \sum_{n=0}^{\infty} 0\ x^n
\]
che è la serie nulla. Evidentemente, tale serie ha raggio di convergenza infinito, cioè converge in tutto \(\mathbb{R}\), ed ha per somma la funzione identicamente nulla \(s(x)=0\) (ciò si vede calcolando esplicitamente le somme parziali della serie).
Ed ecco qui la sorpresa: la somma della serie di Taylor di \(f\) è una funzione diversa da \(f\)!
Infatti dalla legge di assegnazione di \(f\) si desume che \(f(x)>0\) per \(x\neq 0\), cosicché \(f\) non coincide affatto con la funzione identicamente nulla.

Questo è il tipico caso di funzione che non è sviluppabile in serie di Taylor in un punto del suo dominio, nonostante essa sia ivi indefinitamente derivabile: infatti mentre la condizione 1 è soddisfatta, la 2 non lo è affatto.

[Linux1987]

"pasqualinux":
Se non converge ho scritto la serie di taylor ma in effetti la serie non è di taylor ma è una serie di potenze

quindi se scrivo la serie di taylor di una funzione e essa non converge , allora la serie è una serie di potenze m a non di taylor.

[gugo82]

Una serie di Taylor è una serie di potenze, sempre, a prescindere dalle proprietà di convergenza... Pensavo l'avessimo chiarito nei post precedenti.

[Linux1987]

corretto rileggi.

[gugo82]

No.
Una serie si chiama serie di Taylor di una funzione se essa si costruisce a partire da una funzione mediante la regola che ti ho spiegato (cioè calcolando i coefficienti).
Anche questa cosa è indipendente dalla convergenza della serie.

Tanto per fare un esempio, un tuo ritratto a olio è tale perché dipinto con una certa tecnica, indipendentemente dal fatto che esso ti rassomigli o no.
Lo stesso per le serie di Taylor: una serie di Taylor è tale se è costruita seguendo una regola, indipendentemente dal fatto che la sua somma somigli o meno alla funzione che la "genera".

Inoltre, se non si è specificamente capito: non ha senso dire semplicemente "serie di Taylor"; bisogna specificare "serie di Taylor della funzione così e così", perché c'è sempre bisogno di una funzione \(C^\infty\) per generare una serie di Taylor.

[Linux1987]

Data una serie di potenze che però non converge a una funzione f(x) essa non è una serie di taylor.
mi hai risposto : certo

quindi se scrivo la serie di taylor di una funzione e essa non converge , allora la serie è una serie di potenze ma non di taylor.
Non capisco la differenza.
Forse è questa:

Cioè se una serie di potenze converge a una funzione f, allora essa è una serie di taylor , in quanto le uniche serie di potenze che hanno come somma una funzione sono le serie di taylor. esatto?
Quindi se la mia serie di potenze non è convergente allora essa non è una serie di taylor.

Adesso se data una funzione ne scrivo una serie di taylor, essa comunque è la serie di taylor della funzione indipendentemente dalla caratteristiche di convergenza o meno della serie.

[gugo82]

"pasqualinux":Cioè se una serie di potenze converge a una funzione f, allora essa è una serie di taylor , in quanto le uniche serie di potenze che hanno come somma una funzione sono le serie di taylor. esatto?

Esatto.
Questo è il teorema che citavi prima: "Ogni serie di potenze con raggio di convergenza non nullo è la serie di Taylor della sua somma".

"pasqualinux":Quindi se la mia serie di potenze non è convergente allora essa non è una serie di taylor.

Certo.
Non può esserlo perché non hai alcuna candidata plausibile che possa "generare" la serie di potenze come propria serie di Taylor.

"pasqualinux":Adesso se data una funzione ne scrivo LA serie di taylor, essa comunque è la serie di taylor della funzione indipendentemente dalla caratteristiche di convergenza o meno della serie.

Sì.

Nota che anche qui, come nel post di prima, ho dovuto correggerti l'articolo, da indeterminativo a determinativo.
Infatti, la serie di Taylor "generata" da una funzione è unica; perciò non è corretto dire "scrivo una serie di Taylor della funzione", bensì devi dire "scrivo LA serie di Taylor della funzione".

[Linux1987]

mi era chiaro , e l' italiano che è scorretto .. pero in testa era tutto ok!! grazie mille xD