Serie di taylor di una funzione composta

[n.tavaglione96]

ciao a tutti potete dirmi se questo procedimento si puo fare?

$ lim_(x -> 0) log(cosx) / log(e^x+sinx) $

$ e^x =1 + x + x^2/2 + x^3/6 + o() $
$ sinx = x - x^3/6 + o() $
$ e^x + sinx = 1 + x + x^2/2 +o() $
$ cosx= 1- x^2/2 + o() $

sostituendo ottengo:
$ [log (1- x^2/2)]/ [log(1+x+ x^2/2)] $

ponendo rispettivamente x= - x^2/2
x= x+ x^2/2
e usando la serie di Mclaurin: log(1+x)= x - x^2/2 + o()
sostituendo alla x ottengo:

$ [-x^2/2 - 1/2(- x^2/2)^2]/ [x+ x^2/2 -1/2(x+ x^2/2)^2]= [-x^2/2 - x^4/4]/ [x+ x^2/2 - x^2/2 + x^4/8 + x^3/2] $

e per la gerarchia degli infinitesimi, poiche al numeratore il grado dell'infinitesimo è maggiore di quello del denominatore, il limite (per x che tende a 0) è uguale a 0.

[xAle2]

Ciao,
il limite è corretto, ma gli sviluppi no. Questa volta sei stato fortunato, fai più attenzione

[n.tavaglione96]

se puoi, mi spieghi come andavano fatti in modo corretto gli sviluppi?
per favore, te ne sarei grato

[donald_zeka]

$e^x+sinx=1+2x+x^2/2$

Hai sbagliato qui, per il resto tutto ok, a parte il fatto di scrivere $x=-x^2/2$ e $x=x+x^2/2$, che proprio non si può vedere. Basta fare un cambio di variabile...

[xAle2]

Ringrazio @Vulplasir che mi ha preceduto. Solo ora ho un attimo libero per controllare il forum. Volevo chiarire con @milton john che non gli ho postato subito gli sviluppi corretti non per fargli un dispetto o per fare il saputello ma solo per lasciargli il tempo di ragionare da se.

Sviluppi

$log(cosx)=- x^2/2-x^4/12+o(x^4)$

$log(e^x+senx)=2 x-(3 x^2)/2+(5 x^3)/3+o(x^3)$

[francicko]

In questo caso non vengono coinvolti termini oltre il primo termine in $x $,degli sviluppi in serie di taylor, quindi si possono usare gli asintotici che sono equivalenti:
$cosx~(1-x^2/2) $, da cui $log (1-x^2/2)~-x^2/2$;
A denominatore e' $(e^x+x)~(1+2x)$ da cui $log(1+2x)~2x $
Quindi il limite vale $lim_(x->0)(-x^2/2)/(2x)=0$

[xAle2]

Tutto giusto francicko ma è bene che (milton john) impari a sviluppare correttamente le funzioni composte...