Serie di Taylor di $log(x-2)$

[bius88]

Ciao a tutti!!
ho la $f(x)= log(x-2)$ centrata in $x_0=3$
per trovare la serie di taylor mi devo ricondurre allo sviluppo noto di $log(1+x)$? Facendo così ho:

$\sum_{n=0}^oo (-1)^n (x-3)^(n+1)/(n+1)$

Devo inoltre determinare l'intervallo di convergenza :
$\lim_{n \to \infty}|(a_n+1)/a_n|$ essendo $a_n=1/(n+1)$ $rArr$ $\lim_{n \to \infty}|(1/(n+2))*(n+1)|= 1$

$r=1/l=1$ $rArr$ $(x_0-r,x_0+r)$ cioè $(2,4)$

per x=2:
$\sum_{n=0}^oo (-1)^n (-1)^(n+1)/(n+1)$ $rArr$ $((-1)^n (-1)^(n)(-1))/(n+1)$ $rArr$ $(-1)^(n)/(n+1)$ per Leibniz converge.

per x=4:
$\sum_{n=0}^oo (-1)^n (1)^(n+1)/(n+1)$ $rArr$ $((-1)^n (1)^(n)(1))/(n+1)$ $rArr$ $(-1)^(n)/(n+1)$ per Leibniz converge.

Dunque l'intervallo di convergenza è $[2,4]$.
L'ho fatta correttamente?...fatemi sapere
Grazie!!

[ciampax]

Lo sviluppo è corretto. Guarda che per $x=2$ hai

$\sum_{n=0}^\infty -\frac{1}{n+1}$ che quindi non converge essendo la serie armonica cambiata di segno.

Per $x=4$ invece hai concluso correttamente. L'intervallo di convergenza è $(2,4]$.

[bius88]

non riesco per $x=2$ dove ho sbagliato....$(-1)^n*(-1)=(1)^n$ e quindi:$(1)^n*(-1)^n=(-1)^n$...
concludendo esce: $((-1)^n)/(n+1)$
Dove sbaglio?
grazie!

[piero_1]

"bius88":non riesco per $x=2$ dove ho sbagliato....$(-1)^n*(-1)=(1)^n$
Dove sbaglio?

è questo il passaggio illecito
$(-1)^n*(-1)=(1)^n$
per moltiplicare le basi devi avere lo stesso esponente.

[bius88]

scusa, ricapitolando:
per x=2:
$\sum_{n=0}^oo (-1)^n (-1)^(n+1)/(n+1)$ $rArr$ $((-1)^n (-1)^(n)(-1))/(n+1)$ arrivato a questo punto come mi devo comportare?

[piero_1]

"bius88":scusa, ricapitolando:
per x=2:
$\sum_{n=0}^oo (-1)^n (-1)^(n+1)/(n+1)$ $rArr$ $((-1)^n (-1)^(n)(-1))/(n+1)$ arrivato a questo punto come mi devo comportare?

$\sum_{n=0}^oo (-1)^n (-1)^(n+1)/(n+1)$ $rArr$ $((-1)^n (-1)^(n)(-1))/(n+1)$ $rArr$ $((-1)(1)^n)/(n+1)$ $rArr$ $-1/(n+1)$

[bius88]

Giusto....n va da $0$ ad $oo$ qundi $1^n=1$.....scusami e tante grazie!!

[piero_1]

$ciao ^2$