Serie di Taylor di $f(x(y))$

[mc80]

Ciao a tutti,
sto cercando di capire come si può scrivere la serie di Taylor di una funzione composta. Il problema nasce da una dimostrazione della celebre formula di Boltzmann $S = k_blnW$ che ho trovato su un libro di fisica. Nel dimostrare come si ricava la formula, l'autore fa il seguente passaggio.

1) $f(x + epsilonx) = f(x) + f(1+epsilon)$

sviluppando in serie al primo ordine in $epsilon$:

2) $f(x) + epsilonxf'(x) = f(x) + f(1) + epsilonf'(1)$

Non essendo assolutamente chiaro come passare dalla 1 alla 2, ho provato a pensare che forma può avere la serie di Taylor (fermandomi al primo ordine) di $f(x(y))$ partendo dalla serie di $f(x)$, e ho ottenuto la seguente:

$f(x(y)) = f(x(y_0)) + f'(x(y))x'(y)|_(x(y)=x(y_0),y=y_0)(x(y)-x(y_0)) + ...$

Avendo pensato di usare la "chain rule" per la derivata prima. Se ora prendo $x(epsilon) = x + epsilonx$ utilizzando quanto sopra ottengo

$f(x+epsilonx) = f(x+epsilon_0x) + xf'(x+epsilonx)|_(epsilon_0)(x+epsilonx-(x+epsilon_0x))$

Se valuto la funzione in $epsilon_0=0$ ottengo

$f(x+epsilonx) = f(x) + xf'(x)(epsilonx) = f(x)+x^2epsilonf'(x)$

Che rispetto a quella dell'autore è diversa per un fattore $x$ moltiplicante il secondo termine.

Penso di aver sbagliato a scrivere lo sviluppo in serie di Taylor della funzione composta.
Qualcuno saprebbe indirizzarmi su del materiale, o spiegarmi dove ho sbagliato, o spiegarmi come ottenere la formula dell'autore?

Grazie infinite.

Max

[ciampax]

Sbagli a ragionare sulla variabile dello sviluppo: tu devi sviluppare la funzione $g(y)=f(x(y))$ rispetto a $y$, e pertanto ottieni
$$g(y)=g(y_0)+g'(y_0)\cdot(y-y_0)+...=f(x(y_0))+x'(y_0)\cdot f'(x(y_0))\cdot(y-y_0)+...$$
Ora, nel tuo caso si ha $y=\varepsilon$, $x(\varepsilon)=x+\varepsilon x$ e $y_0=0$, per cui
$$f(x+\varepsilon x)=f(x)+x\cdot f'(x)\cdot \varepsilon+...$$
avendosi
$$x'(0)=x,\qquad f'(x(0))=f'(x)$$

[mc80]

Grazie mille del prezioso chiarimento.

Ciao.

[ciampax]

Prego, di nulla.