Serie di Taylor con resto di Peano

[thedarkhero]

Serie di Taylor $f(x)=\sum_{n=0}^(m-1) f(c)^((n))/(n!)*(x-c)^n+o((x-c)^m)$
Come sviluppo in serie $e^x$?

[alle.fabbri]

Ti calcoli la derivata di ordine n a x=0
$(e^x )^(n) ]_(x=0) = e^x ]_(x=0) = 1$
poi sostituisci nella tua espressione di taylor
$e^x = sum_(k=1)^(\infty) (x^k)/(k!)$

[thedarkhero]

Quindi $e^2=\sum_{k=1}^N 2^n/(n!)$?

[alle.fabbri]

esatto. ti posso anche dire che a livello di calcolo numerico delle cifre decimali di e questa è l'espressione che converge più in fretta e più veloce da calcolare.

[thedarkhero]

"alle.fabbri":Ti calcoli la derivata di ordine n a x=0
$(e^x )^(n) ]_(x=0) = e^x ]_(x=0) = 1$
poi sostituisci nella tua espressione di taylor
$e^x = sum_(k=1)^(\infty) (x^k)/(k!)$

Perchè poni x=0?

[alle.fabbri]

perchè prendi zero come punto in cui espandere.

[thedarkhero]

Prendo 0 per qualunque funzione che voglio sviluppare in serie di Taylor?

[alle.fabbri]

se vuoi....cioè la formula di taylor sarebbe una serie di potenze in $(x-x_0)^k$ se tu scegli x_0 = 0 hai lo sviluppo in serie in un intorno di 0, che penso si chiami serie di maclaurin....ma non sono sicuro....
In ogni caso con l'esponenziale sei tranquillo perchè converge per ogni x reale, siccome ti puoi calcolare il raggio di convergenza e trovi che vale infinito.

[thedarkhero]

Quindi se devo calcolare un limite di f(x) per x->k sviluppo in serie di Taylor ponendo x0=k?

[alle.fabbri]

si ma secondo me non ti conviene farlo....ci sono tantissimi modi, molto più semplici, per calcolare il valore di un limite.

[thedarkhero]

D'accordo ma era per capire...
$lim_(x->\pi)sin(x)=\sum_{k=0}^oo (-1)^(2n)/(n!)*(x-\pi)^n$
Giusto?