Serie di Taylor centrata in $x_0=2$
Salve,
Ho un problemino con la serie di Taylor: $f(x)= (x-2)^3 e^{-(x-2)^2}$ (l'esponente della e è $-(x-2)^2$...ma ASCIIMathML non me la fa scrivere!) centrata in $x_0=2$
Pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=o}^oo t^n/(n!) $
La serie dunque è $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-2-x_0)^(2n))/(n!)$ = $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-4)^(2n))/(n!)$
E' corretta? Devo portare $(x-2)^3$ dentro la serie?
Grazie!
[mod="Gatto89"]Sistemato il codice MathML[/mod]
Ho un problemino con la serie di Taylor: $f(x)= (x-2)^3 e^{-(x-2)^2}$ (l'esponente della e è $-(x-2)^2$...ma ASCIIMathML non me la fa scrivere!) centrata in $x_0=2$
Pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=o}^oo t^n/(n!) $
La serie dunque è $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-2-x_0)^(2n))/(n!)$ = $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-4)^(2n))/(n!)$
E' corretta? Devo portare $(x-2)^3$ dentro la serie?
Grazie!
[mod="Gatto89"]Sistemato il codice MathML[/mod]
Risposte
portandolo dentro ho $-(x-4)^18 (x-2)^3$. Perchè esce così (l'ho fatto con la calcolatrice)? Da dove esce il 18?
Grazie!
Grazie!
la funzione è [tex]f(x)=(x-2)^3 e^{-(x-2)^2}[/tex], giusto?
Hai fatto bene a porre [tex]t=-(x-2)^2[/tex] ma hai dimenticato di trasformare il punto [tex]x_0[/tex].
In tal caso [tex]t_0 = -(x_0-2)^2 =0[/tex]. Il fattore in cui interviene la funzione esponenziale diventa quindi
[tex]e^t[/tex] il cui sviluppo di Taylor (centrato in [tex]t_0 =0[/tex]) è noto ed è:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}[/tex] ma [tex]t= -(x-2)^2[/tex] quindi...
Nota bene: il 4 nello sviluppo che hai scritto è errato
Hai fatto bene a porre [tex]t=-(x-2)^2[/tex] ma hai dimenticato di trasformare il punto [tex]x_0[/tex].
In tal caso [tex]t_0 = -(x_0-2)^2 =0[/tex]. Il fattore in cui interviene la funzione esponenziale diventa quindi
[tex]e^t[/tex] il cui sviluppo di Taylor (centrato in [tex]t_0 =0[/tex]) è noto ed è:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}[/tex] ma [tex]t= -(x-2)^2[/tex] quindi...
Nota bene: il 4 nello sviluppo che hai scritto è errato
scusa ti mostro 2 casi:
1. [tex]f(x)=(x-2)^3 e^{-(x-2)^2}[/tex] centrata in $x_0=0$
2. [tex]f(x)=(x-2)^3 e^{-(x-2)^2}[/tex] centrata in $x_0=2$ (il caso sopra discusso)
Nel caso 1.:
pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=o}^oo t^n/(n!) $
La serie dunque è $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-2)^(2n))/(n!)$
Nel caso 2.:
Nella discussione precedente poichè il polinomio di tayor è $f(x_0) + f'(x_0)((x-x_0))/(1!)+.....$ ho messo $(x-x_0)=(x-2)$ poichè $x_0=2$ invece devo sostituire $x_0$ a $x$
Pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=o}^oo t^n/(n!) $
La serie dunque è $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x_0-2)^(2n))/(n!)$ = $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(2-2)^(2n))/(n!)= (x-2)^3 \sum_{n=o}^oo ((0)^(2n))/(n!)= $ ...ma come si dovrebbe scrivere?
1. [tex]f(x)=(x-2)^3 e^{-(x-2)^2}[/tex] centrata in $x_0=0$
2. [tex]f(x)=(x-2)^3 e^{-(x-2)^2}[/tex] centrata in $x_0=2$ (il caso sopra discusso)
Nel caso 1.:
pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=o}^oo t^n/(n!) $
La serie dunque è $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-2)^(2n))/(n!)$
Nel caso 2.:
Nella discussione precedente poichè il polinomio di tayor è $f(x_0) + f'(x_0)((x-x_0))/(1!)+.....$ ho messo $(x-x_0)=(x-2)$ poichè $x_0=2$ invece devo sostituire $x_0$ a $x$
Pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=o}^oo t^n/(n!) $
La serie dunque è $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x_0-2)^(2n))/(n!)$ = $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(2-2)^(2n))/(n!)= (x-2)^3 \sum_{n=o}^oo ((0)^(2n))/(n!)= $ ...ma come si dovrebbe scrivere?
E' possibile che il risultato sia $0$? Poiché $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo 0= (x-2)^3*0=0$ direi di si....
Ciao bius88, ho provato a seguire il tuo ragionamento ma esso è pieno di falle, probabilmente dovute ad una cattiva comprensione dello sviluppo in serie di Taylor, per questo motivo prima di procedere ti consiglio di riguardare con occhio critico nuovamente l'argomento.
Scusa ma almeno il caso 1. è svolto correttamente?
No, nè il primo nè il secondo. Facciamo così concentriamoci un attimo sul secondo che è immediato e proviamo a ragionare passo passo. Dimmi, cosa faresti per prima cosa?
prima cosa pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=0}^oo t^n/(n!)$
"bius88":
prima cosa pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=0}^oo t^n/(n!)$
Ok, ma il punto $t_0$ qual è in questo caso?
$t_0=-(x_0-2)^2$ quindi $t_0=0$
"bius88":
$t_0=-(x_0-2)^2$ quindi $t_0=0$
Esattamente, per questo motivo puoi utilizzare lo sviluppo noto dell'esponenziale centrato in $t_0=0$. Fin qui chiaro?
Ok qual è il prossimo passaggio che faresti ?
essendo $e^t=\sum_{n=o}^oo t^n/(n!) $, per me $t_0=0$ dunque $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (0)^(n)/(n!)$
Ecco qui l'errore 
Al posto di $t$ non devi mettere $t_0$. $t_0$ è una costante mentre t è una variabile. Ti ricordo che $t= -(x-2)^2$ quindi sostituendo nello sviluppo dell'esponeziale ottieni .. Prova a sostituire 
[Edit]Scusami bius88 ma devo lasciarti
. Mi chiamano per andare a giocare a carte. Mi auguro che qualcuno possa chiarirti la situazione 
Al posto di $t$ non devi mettere $t_0$. $t_0$ è una costante mentre t è una variabile. Ti ricordo che $t= -(x-2)^2$ quindi sostituendo nello sviluppo dell'esponeziale ottieni .. Prova a sostituire [Edit]Scusami bius88 ma devo lasciarti
. Mi chiamano per andare a giocare a carte. Mi auguro che qualcuno possa chiarirti la situazione
$(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-2)^(2n))/(n!)$
ok...spero di trovarti domani...Grazie!
"bius88":
$(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-2)^(2n))/(n!)$
Quasi ma non ci siamo:
Poichè [tex]t= -(x-2)^2[/tex] allora [tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} =\sum_{n=0}^\infty \frac{( -(x-2)^2)^n}{n!} =[/tex]
[tex]= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (x-2)^{2n}}{n!}[/tex]
Dunque:
[tex](x-2)^3 \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (x-2)^{2n}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (x-2)^3 (x-2)^{2n}}{n!} =[/tex]
[tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (x-2)^{2n+3}}{n!}[/tex].
Se hai domande falle, domani o non so quando risponderò
Ciao!!
[size=75]
[Edit]: cancellato un uguale che non c'entrava nulla[/size]
Grazie.....i passaggi li ho capiti! io all'inizio la facevo così (tranne per il $-1^n$)... mi sono ingarbugliato tantissimo dopo il tuo primo messaggio!
Comunque mi è sorto un altro dubbio...
Questa soluzione (anche se come ti ho spiegato era sbagliata poichè mancavano $-1^n$ e i passaggi successivi) la trovavo nel caso fosse centrata in $x_0=0$.
Tu mi hai detto che se è centrata in $x_0=2$ poichè la $t_0=0$ posso utilizzare lo sviluppo noto come se fosse centrata in $x_0=0$ Fin qui è giusto?
Se si allora mi chiedo: se fosse centrata in $x_0=1$ o in $x_0=4$, come si dovrebbe fare?
Grazie 1000!!
Comunque mi è sorto un altro dubbio...
Questa soluzione (anche se come ti ho spiegato era sbagliata poichè mancavano $-1^n$ e i passaggi successivi) la trovavo nel caso fosse centrata in $x_0=0$.
Tu mi hai detto che se è centrata in $x_0=2$ poichè la $t_0=0$ posso utilizzare lo sviluppo noto come se fosse centrata in $x_0=0$ Fin qui è giusto?
Se si allora mi chiedo: se fosse centrata in $x_0=1$ o in $x_0=4$, come si dovrebbe fare?
Grazie 1000!!
"bius88":
Grazie.....i passaggi li ho capiti! io all'inizio la facevo così (tranne per il $-1^n$)... mi sono ingarbugliato tantissimo dopo il tuo primo messaggio!
Comunque mi è sorto un altro dubbio...
Mi scuso per il mio messaggio fuorviante
, anche se a mia difesa debbo dire che i passaggi scritti sono abbastanza standard. "bius88":
Questa soluzione (anche se come ti ho spiegato era sbagliata poichè mancavano $-1^n$ e i passaggi successivi) la trovavo nel caso fosse centrata in $x_0=0$.
Tu mi hai detto che se è centrata in $x_0=2$ poichè la $t_0=0$ posso utilizzare lo sviluppo noto come se fosse centrata in $x_0=0$ Fin qui è giusto?
Se si allora mi chiedo: se fosse centrata in $x_0=1$ o in $x_0=4$, come si dovrebbe fare?
Grazie 1000!!
Attenzione alle parentesi! [tex](-1)^n \ne -1^n[/tex]. Per quanto riguarda la domanda, vorrei che tu sapessi che questi esercizi di solito sono fatti di modo che ,con una semplice sostituzione, si possano sfruttare gli sviluppi noti. Nel caso in cui non fosse possibile allora devi ricorrere al calcolo dei coefficienti tramite la valutazione delle derivate nel punto $x_0$.
"Mathematico":grazie!!
Attenzione alle parentesi! [tex](-1)^n \ne -1^n[/tex].
"Mathematico":Si me ne sono accorto, ma il dubbio rimane....ad esempio se $x_0=4$ cosa devo fare?
Per quanto riguarda la domanda, vorrei che tu sapessi che questi esercizi di solito sono fatti di modo che ,con una semplice sostituzione, si possano sfruttare gli sviluppi noti. Nel caso in cui non fosse possibile allora devi ricorrere al calcolo dei coefficienti tramite la valutazione delle derivate nel punto $x_0$.
Grazie
La funzione è sempre la stessa? Cioè [tex]f(x):= (x-2)^3 e^{-(x-2)^2}[/tex]? Nel caso in cui il punto
[tex]x_0 = 4[/tex] allora credo sia opportuno usare proprio la formula per la serie di Taylor.
Calcoli le derivate e le valuti nel punto [tex]x_0 = 4[/tex], in questo caso:
[tex]f(x_0)=f(4)= \frac{8}{e^4}[/tex]
[tex]f'(x_0) = f'(4) = -\frac{20}{e^4}[/tex]
[tex]f''(x_0)= f''(4)= \frac{28}{e^4}[/tex] e così via, di conseguenza:
[tex]\text{Taylor}[f(x)] = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\cdots =[/tex]
[tex]=\displaystyle \frac{8}{e^4} -\frac{20}{e^4} (x-4)+\frac{28}{2 e^4} (x-4)^2+\cdots[/tex]
Almeno questo è quello che io farei. Mi suona strano però che il punto $x_0= 4$ non permetta una sostituzione che mi semplifichi i calcoli. E' possibile che vi sia qualche trucchetto che ora non mi viene in mente. Attendiamo qualcuno che venga a suggerirci qualcosa di meglio
[tex]x_0 = 4[/tex] allora credo sia opportuno usare proprio la formula per la serie di Taylor.
Calcoli le derivate e le valuti nel punto [tex]x_0 = 4[/tex], in questo caso:
[tex]f(x_0)=f(4)= \frac{8}{e^4}[/tex]
[tex]f'(x_0) = f'(4) = -\frac{20}{e^4}[/tex]
[tex]f''(x_0)= f''(4)= \frac{28}{e^4}[/tex] e così via, di conseguenza:
[tex]\text{Taylor}[f(x)] = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\cdots =[/tex]
[tex]=\displaystyle \frac{8}{e^4} -\frac{20}{e^4} (x-4)+\frac{28}{2 e^4} (x-4)^2+\cdots[/tex]
Almeno questo è quello che io farei. Mi suona strano però che il punto $x_0= 4$ non permetta una sostituzione che mi semplifichi i calcoli. E' possibile che vi sia qualche trucchetto che ora non mi viene in mente. Attendiamo qualcuno che venga a suggerirci qualcosa di meglio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo