Serie di Taylor centrata in $x_0=2$
Salve,
Ho un problemino con la serie di Taylor: $f(x)= (x-2)^3 e^{-(x-2)^2}$ (l'esponente della e è $-(x-2)^2$...ma ASCIIMathML non me la fa scrivere!) centrata in $x_0=2$
Pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=o}^oo t^n/(n!) $
La serie dunque è $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-2-x_0)^(2n))/(n!)$ = $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-4)^(2n))/(n!)$
E' corretta? Devo portare $(x-2)^3$ dentro la serie?
Grazie!
[mod="Gatto89"]Sistemato il codice MathML[/mod]
Ho un problemino con la serie di Taylor: $f(x)= (x-2)^3 e^{-(x-2)^2}$ (l'esponente della e è $-(x-2)^2$...ma ASCIIMathML non me la fa scrivere!) centrata in $x_0=2$
Pongo $-(x-2)^2=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=o}^oo t^n/(n!) $
La serie dunque è $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-2-x_0)^(2n))/(n!)$ = $(x-2)^3 \sum_{n=o}^oo (-(x-4)^(2n))/(n!)$
E' corretta? Devo portare $(x-2)^3$ dentro la serie?
Grazie!
[mod="Gatto89"]Sistemato il codice MathML[/mod]
Risposte
Ok!! intanto vediamo se ho capito: se $x_0=0$ o se $x_0=a$, dove $a$ è quel numero per cui $t_0=0$, con una sostituzione mi riconduco agli sviluppi noti;
diversamente si applica la formula di taylor.
Un'altra cosa che non ho capito..se utilizzo la formula di taylor come faccio a trovare la serie? Ad esempio tu prima hai trovato lo sviluppo in serie $8/e^4-20/e^4(x-4)+28/(2e^4)(x-4)^2+....$, ma la serie qual è?
Ti ringrazio come sempre e ti auguro un felice Natale!
diversamente si applica la formula di taylor.
Un'altra cosa che non ho capito..se utilizzo la formula di taylor come faccio a trovare la serie? Ad esempio tu prima hai trovato lo sviluppo in serie $8/e^4-20/e^4(x-4)+28/(2e^4)(x-4)^2+....$, ma la serie qual è?
Ti ringrazio come sempre e ti auguro un felice Natale!
"bius88":
Ok!! intanto vediamo se ho capito: se $x_0=0$ o se $x_0=a$, dove $a$ è quel numero per cui $t_0=0$, con una sostituzione mi riconduco agli sviluppi noti;
diversamente si applica la formula di taylor.
Sì, bene o male è così.
"bius88":
Un'altra cosa che non ho capito..se utilizzo la formula di taylor come faccio a trovare la serie? Ad esempio tu prima hai trovato lo sviluppo in serie $8/e^4-20/e^4(x-4)+28/(2e^4)(x-4)^2+....$, ma la serie qual è?
Ti ringrazio come sempre e ti auguro un felice Natale!
Ehm, la serie di Taylor è quella che ho scritto. Certo ho solo messo in evidenza alcuni termini, ma non riesco ad esprimerla sottoforma di serie. Per caso il punto $x_0=4$ lo hai inventato tu al momento?
Grazie ricambio gli auguri!!
si si l'ho inventato io....comunque mi interessava sapere che non sempre si può esprimere sottoforma di serie!
Infatti se chiedono di scrivere la serie capitano sempre i casi che ti dicevo prima ($x_0=0$ o $x_0=a$)...
Ti ringrazio nuovamente!
Infatti se chiedono di scrivere la serie capitano sempre i casi che ti dicevo prima ($x_0=0$ o $x_0=a$)...
Ti ringrazio nuovamente!
Ti propongo un esercizio molto semplice ma altrettanto interessante dal punto di vista didattico.
Determinare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione [tex]f(x)= e^{x-2}[/tex]
•centrata in [tex]x_0 =0[/tex]
•centrata in [tex]x_0 =2[/tex]
Prova a farlo
"Di solito" gli esercizi agli esami sono fatti in modo che lo sviluppo possa essere espresso sottoforma di serie, quindi stai attento
Determinare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione [tex]f(x)= e^{x-2}[/tex]
•centrata in [tex]x_0 =0[/tex]
•centrata in [tex]x_0 =2[/tex]
Prova a farlo
si si l'ho inventato io....comunque mi interessava sapere che non sempre si può esprimere sottoforma di serie!
"Di solito" gli esercizi agli esami sono fatti in modo che lo sviluppo possa essere espresso sottoforma di serie, quindi stai attento
Ciao Mathematico, spero che abbia passato un buon Natale!
L'esercizio sembra banale:
per $x_0=0$: pongo $(x-2)=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=0}^oo t^n/(n!)$ dunque $\sum_{n=0}^oo (x-2)^n/(n!)$
per $x_0=2$: pongo $(x-2)=t$; poichè $t_0=(2-2)=0$ considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=0}^oo t^n/(n!)$ dunque $\sum_{n=0}^oo (x-2)^n/(n!)$
Spero sia tutto corretto visto che ho definito la serie banale, altrimenti....
L'esercizio sembra banale:
per $x_0=0$: pongo $(x-2)=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=0}^oo t^n/(n!)$ dunque $\sum_{n=0}^oo (x-2)^n/(n!)$
per $x_0=2$: pongo $(x-2)=t$; poichè $t_0=(2-2)=0$ considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=0}^oo t^n/(n!)$ dunque $\sum_{n=0}^oo (x-2)^n/(n!)$
Spero sia tutto corretto visto che ho definito la serie banale, altrimenti....
"bius88":
Ciao Mathematico, spero che abbia passato un buon Natale!
L'esercizio sembra banale:
per $x_0=0$: pongo $(x-2)=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=0}^oo t^n/(n!)$ dunque $\sum_{n=0}^oo (x-2)^n/(n!)$
Questo non va bene, non hai trasformato il punto [tex]x_0[/tex], anche se in questo caso non era necessario, pensaci su, nel caso non ti torna fai un fischio
"bius88":
per $x_0=2$: pongo $(x-2)=t$; poichè $t_0=(2-2)=0$ considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=0}^oo t^n/(n!)$ dunque $\sum_{n=0}^oo (x-2)^n/(n!)$
Spero sia tutto corretto visto che ho definito la serie banale, altrimenti....
Questo è perfetto
"Mathematico":
[quote="bius88"]Ciao Mathematico, spero che abbia passato un buon Natale!
L'esercizio sembra banale:
per $x_0=0$: pongo $(x-2)=t$ e considero lo sviluppo noto $e^t=\sum_{n=0}^oo t^n/(n!)$ dunque $\sum_{n=0}^oo (x-2)^n/(n!)$
Questo non va bene, non hai trasformato il punto [tex]x_0[/tex], anche se in questo caso non era necessario, pensaci su, nel caso non ti torna fai un fischio[/quote]
Cioè? come si trasforma il punto $x_0$?
vediamo un po'.
Hai posto [tex]t=(x-2)[/tex] e poichè [tex]x_0= 0[/tex] allora [tex]t_0 = (x_0-2) = -2[/tex], quindi non puoi utilizzare lo sviluppo noto dell'esponenziale, questo perchè quello che conosciamo è centrato in [tex]t_0=0[/tex] mentre in questo caso [tex]t_0= -2[/tex].
Prova a sfruttare qualche proprietà dell'esponenziale
Hai posto [tex]t=(x-2)[/tex] e poichè [tex]x_0= 0[/tex] allora [tex]t_0 = (x_0-2) = -2[/tex], quindi non puoi utilizzare lo sviluppo noto dell'esponenziale, questo perchè quello che conosciamo è centrato in [tex]t_0=0[/tex] mentre in questo caso [tex]t_0= -2[/tex].
Prova a sfruttare qualche proprietà dell'esponenziale
non mi viene in mente nulla....posso lasciare fuori dalla serie il $-2$.
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Il trucco da usare è sostanzialmente questo:
[tex]f(x)= e^{x-2} = e^{-2} e^x[/tex] ma lo sviluppo di [tex]e^x[/tex] centrato in [tex]x_0=0[/tex] è noto, quindi hai finito
[tex]f(x)= e^{x-2} = e^{-2} e^x[/tex] ma lo sviluppo di [tex]e^x[/tex] centrato in [tex]x_0=0[/tex] è noto, quindi hai finito
dunque la soluzione finale è $e^-2\sum_{n=0}^oo (x-2)^n/(n!)$?
Insomma posso usare gli sviluppi noti solo quando $t_0=0$. Ad esempio se ho:
1) $log(x-2)$ centrata in $x_0=0$
2) $log(x-2)$ centrata in $x_0=3$
solo per la seconda posso utilizzare lo sviluppo noto del logaritmo: $log(1+x)=\sum_{n=0}^oo (-1)^n (x^(n+1))/(n+1)$ poichè $(3-2)=1$ e $log(1)=0$.
E' così?
Grazie 1000!!
Insomma posso usare gli sviluppi noti solo quando $t_0=0$. Ad esempio se ho:
1) $log(x-2)$ centrata in $x_0=0$
2) $log(x-2)$ centrata in $x_0=3$
solo per la seconda posso utilizzare lo sviluppo noto del logaritmo: $log(1+x)=\sum_{n=0}^oo (-1)^n (x^(n+1))/(n+1)$ poichè $(3-2)=1$ e $log(1)=0$.
E' così?
Grazie 1000!!
"bius88":
dunque la soluzione finale è $e^-2\sum_{n=0}^oo (x-2)^n/(n!)$?
mmm no. lo sviluppo è [tex]\displaystyle e^{-2}\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{e^2 n!}[/tex]
"bius88":
Insomma posso usare gli sviluppi noti solo quando $t_0=0$. Ad esempio se ho:
1) $log(x-2)$ centrata in $x_0=0$
2) $log(x-2)$ centrata in $x_0=3$
solo per la seconda posso utilizzare lo sviluppo noto del logaritmo: $log(1+x)=\sum_{n=0}^oo (-1)^n (x^(n+1))/(n+1)$ poichè $(3-2)=1$ e $log(1)=0$.
E' così?
Grazie 1000!!
Per quanto riguarda la 1) la richiesta non ha proprio senso visto che [tex]x_0\notin \text{Dom(f)}[/tex]. Per la 2) invece è sufficiente usare la sostituzione [tex]x-2=1+t\implies t = x-3[/tex] per cui il punto [tex]t_0= (x_0-3) =0[/tex]
dunque
[tex]f(x)=\log(x-2) = \log(1+t)[/tex]. [tex]t_0=0[/tex] pertanto lo sviluppo in serie di Taylor è:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{t^{n+1}}{n+1}[/tex] ma [tex]t=x-3[/tex] di conseguenza:
[tex]T_{f,x_0}(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(x-3)^{n+1}}{n+1}[/tex]
Grazie sei stato chiarissimo!
un'altra cosa....questa serie è corretta?
$f(x)=log(2+4x)$ centrata in $x_0=0$
Lo sviluppo noto è $log(1+x)=\sum_{n=0}^oo (-1)^n x^(n+1)/(n+1)$
$log(2+4x)=log[2(1+2x)]=log2+log(1+2x)$
$log(1+2x)=\sum_{n=0}^oo (-1)^n (2x)^(n+1)/(n+1)$
La serie di Taylor è dunque $log2+\sum_{n=0}^oo (-1)^n (2x)^(n+1)/(n+1)$
Spero di aver fatto bene almeno questa!!
Grazie.
$f(x)=log(2+4x)$ centrata in $x_0=0$
Lo sviluppo noto è $log(1+x)=\sum_{n=0}^oo (-1)^n x^(n+1)/(n+1)$
$log(2+4x)=log[2(1+2x)]=log2+log(1+2x)$
$log(1+2x)=\sum_{n=0}^oo (-1)^n (2x)^(n+1)/(n+1)$
La serie di Taylor è dunque $log2+\sum_{n=0}^oo (-1)^n (2x)^(n+1)/(n+1)$
Spero di aver fatto bene almeno questa!!
Grazie.
Sì è giusta
OK!! 
Grazie!
Grazie!
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