Serie di Taylor
trovare lo sviluppo di serie di taylor con resto in forma di Peano fino al termine x^2 incluso con punto iniziale x_0=1
$ f(x)=e^(x^(1/2))- e^(1-x) $
Allora non riesco a capire come si svolge questo esercizio cioè senza il punto iniziale mi è piu semplice risolverlo.Cmq ho provato in un modo e questo è il risultato:
$ f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+(f''(1)(x-1)^2)/2+R_2(x) $
quindi mi faccio le derivate di f(x)
$ f'(x)=e^(x^(1/2))/(2x^(1/2))+e^(1-x) $
$ f^(2)(x)=(e^(x^(1/2))-(2e^(x^(1/2)))/(3(x^(2/3))))/(4x) $
poi ho sostituito 1 e dalla prima eq ottengo
$ f(x)=e-1+((e/2)+1)(x-1)+((e/12)-1)(x-1)^(2)+o(x-1)^2 $ semplifico e se non ho fatto errori di calcolo ottengo
$ f(x)=7/12e-3+(e/3+3)x+(e/12-1)x^(2)+o(x^2) $
non mi interessa se ho fatto errori di calcolo a me interessa se questo procedimento è giusto o meno.
Vi ringrazio ciao
$ f(x)=e^(x^(1/2))- e^(1-x) $
Allora non riesco a capire come si svolge questo esercizio cioè senza il punto iniziale mi è piu semplice risolverlo.Cmq ho provato in un modo e questo è il risultato:
$ f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+(f''(1)(x-1)^2)/2+R_2(x) $
quindi mi faccio le derivate di f(x)
$ f'(x)=e^(x^(1/2))/(2x^(1/2))+e^(1-x) $
$ f^(2)(x)=(e^(x^(1/2))-(2e^(x^(1/2)))/(3(x^(2/3))))/(4x) $
poi ho sostituito 1 e dalla prima eq ottengo
$ f(x)=e-1+((e/2)+1)(x-1)+((e/12)-1)(x-1)^(2)+o(x-1)^2 $ semplifico e se non ho fatto errori di calcolo ottengo
$ f(x)=7/12e-3+(e/3+3)x+(e/12-1)x^(2)+o(x^2) $
non mi interessa se ho fatto errori di calcolo a me interessa se questo procedimento è giusto o meno.
Vi ringrazio ciao
Risposte
il procedimento è giusto, ma c'è anche qualche errore di calcolo.
Un esercizio su Taylor svolto calcolando le derivate è la cosa più fastidiosa che si possa vedere!
"ciampax":
Un esercizio su Taylor svolto calcolando le derivate è la cosa più fastidiosa che si possa vedere!
Ma io non so fare altrimenti. Se mi puoi dare un consiglio ne sarei grata.
grazie!
Quello che va usato sono gli sviluppi di Mclaurin (cioè Taylor centrato in $t_0=0$) delle funzioni. Considera gli sviluppi di McLaurin seguenti
[tex]$e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)\qquad \sqrt{1+t}=1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+o(t^2)$[/tex]
(mi fermo al secondo ordine perché la richiesta data dall'esercizio è questa). Per prima cosa facciamo in modo di calcolare lo sviluppo della funzione in $t_0=0$ per fare ciò, basta porre $t=x-1$ per cui la funzione diventa
[tex]$F(t)=e^{\sqrt{1+t}}-e^{-t}=$[/tex] utilizzando gli sviluppi scritti sopra
[tex]$=e^{1+t/2-t^2/8+o(t^2)}-\left(1+(-t)+\frac{(-t)^2}{2}+o(t^2)\right)=e\cdot e^{t/2-t^2/8+o(t^2)}-1+t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)=$[/tex]
considerando tutto il termine $t/2-t^2/8+o(t^2)=s$, e osservando che $s^2=t^2/4+o(t^2)$,
[tex]$=e\left(1+s+\frac{s^2}{2}+o(s^2)\right)-1+t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)=e\left(1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+\frac{t^2}{8}+o(t^2)\right)-1+t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)=$[/tex]
[tex]$=e-1+\frac{e+2}{2} t-\frac{1}{2} t^2+o(t^2)$[/tex]
e infine, sostituendo la $t$ ottieni
[tex]$f(x)=e-1+\frac{e+2}{2} (x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)$[/tex]
Due osservazioni: 1) non hai bisogno di scriverla come somme di potenze di $x$, visto che ti è chiesto lo sviluppo nel punto $x_0=1$; 2) hai calcolato male la derivata seconda, come puoi vedere confrontando il mio e il tuo risultato. In effetti è
[tex]$f''(1)=\left(e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}-1}{4x\sqrt{x}}-e^{x-1}\right)\Big|_{x=1}=-1$[/tex]
[tex]$e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)\qquad \sqrt{1+t}=1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+o(t^2)$[/tex]
(mi fermo al secondo ordine perché la richiesta data dall'esercizio è questa). Per prima cosa facciamo in modo di calcolare lo sviluppo della funzione in $t_0=0$ per fare ciò, basta porre $t=x-1$ per cui la funzione diventa
[tex]$F(t)=e^{\sqrt{1+t}}-e^{-t}=$[/tex] utilizzando gli sviluppi scritti sopra
[tex]$=e^{1+t/2-t^2/8+o(t^2)}-\left(1+(-t)+\frac{(-t)^2}{2}+o(t^2)\right)=e\cdot e^{t/2-t^2/8+o(t^2)}-1+t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)=$[/tex]
considerando tutto il termine $t/2-t^2/8+o(t^2)=s$, e osservando che $s^2=t^2/4+o(t^2)$,
[tex]$=e\left(1+s+\frac{s^2}{2}+o(s^2)\right)-1+t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)=e\left(1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+\frac{t^2}{8}+o(t^2)\right)-1+t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)=$[/tex]
[tex]$=e-1+\frac{e+2}{2} t-\frac{1}{2} t^2+o(t^2)$[/tex]
e infine, sostituendo la $t$ ottieni
[tex]$f(x)=e-1+\frac{e+2}{2} (x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)$[/tex]
Due osservazioni: 1) non hai bisogno di scriverla come somme di potenze di $x$, visto che ti è chiesto lo sviluppo nel punto $x_0=1$; 2) hai calcolato male la derivata seconda, come puoi vedere confrontando il mio e il tuo risultato. In effetti è
[tex]$f''(1)=\left(e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}-1}{4x\sqrt{x}}-e^{x-1}\right)\Big|_{x=1}=-1$[/tex]
okok. Grazie mille per il tuo consiglio. in questo modo l' esercizio mi sembra piu semplice.
GRAZIE ancora
GRAZIE ancora
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