Serie di taylor..

[bius88]

Salve a tutti.....potete spiegarmi che cosa significa: scrivere la serie di Taylor di f centrata in $x_0 = 3$ data
$f(x) = (x - 3)^3 log(x - 2)$
grazie

[ciampax]

Conosci la definizione di serie di Taylor?

[bius88]

no..me la puoi dire e farmi un esempio relativo all'esercizio quì sopra??

[ciampax]

Allora, se $f$ è una funzione di classe $C^n$ (derivabile con $n$ derivate continue) su un aperto contenente un punto $x_0$ in cui essa e definita, il polinomio di Taylor di $f$ di ordine $n$ calcolato nel punto $x_0$ è dato dall'espressione

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$

dove $f^{(k)}(x_0)$ è il valore della derivata di ordine $k$ di $f$ calcolato in $x_0$ e $o((x-x_0)^n)$ è detto resto della serie e rappresentata l'errore che commetti nel calcolare il valore di $f$ in $x$ con il polinomio piuttosto che con la reale espressione della funzione stessa. Se la funzione $f$ è derivabile infinite volte, allora puoi scrivere la serie di Taylor che è data dall'espressione

$f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k.$

Nel caso in cui $x_0=0$ si ha la serie di MacLaurin

$f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^k.$

Per risolvere il tuo esercizio, devi fare queste considerazioni:
1) il polinomio è già espresso bene (visto che è della forma $(x-x_0)^k$ con $x_0=3$ e $k=3$,
2) devi invece trovare una serie di Taylor per la funzione $g(x)=\log(x-2)$ e poi moltiplicare quello che troverai per il polinomio precedente.

Ora, piuttosto che metterti a calcolare infinite derivate del logaritmo (cosa stancante) puoi invece usare lo sviluppo noto della serie di MacLaurin della funzione $\log(1+t)$ che è dato da (esistono tabelle al riguardo)

$\log(1+t)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{t^k}{k}$

e osservare che per $t=x-3$ tale sviluppo diviene

$\log(x-2)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\frac{(x-3)^k}{k}$.

Puoi allora concludere che lo sviluppo della funzione data è

$f(x)=(x-3)^3\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\frac{(x-3)^k}{k}=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\frac{(x-3)^{k+3}}{k}=\sum_{h=4}^n(-1)^{h-2}\frac{(x-3)^h}{h-3}=\sum_{h=4}^n(-1)^{h}\frac{(x-3)^h}{h-3}.$

[bius88]

grazie 1000.....ora mi studio ciò che hai scritto...!!

[bius88]

ah...un'altra cosa....come si fa a determinare l'insieme in cui la serie converge??

[ciampax]

La serie $\log(1+t)$ converge su $|t|<1$. Avendo posto $t=x-3$ ne puoi dedurre che la serie della funzione $f$ converge su $2

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