Serie di taylor

[tech1]

Salve vorrei un chiarimento: nella serie di taylor si dice che la derivata k-esima è la sommatoria di n che va da k a inf. di $n(n-1)(n-2).......(n-k+1)a_n(x-x_0)^n-k$, e poi come caso particolare se $X=X_0$ la derivata K-esima diventa $K!*a_K$; ecco quest'ultimo particolare non mi è chiaro: come fa a diventare $K!*a_k$ ????
GRAZIE IN ANTICIPO


P.S. Sono nuovo del forum potreste indicarmi dove sono le informazioni neccessarie per scrivere le formule ??

[Umby2]

Nella prima sezione del forum "Il nostro forum", trovi in alto gli annunci
Vedi: Come scrivere le formule

[gugo82]

Scrivendo la serie derivata come $k!a_k+\sum_(n=k+1)^(+oo) (n!)/((n-k)!)a_n(x-x_0)^(n-k)$ (praticamente ho portato fuori dal simbolo di sommatoria il termine per ottenuto per $n=k$, che è costante, ed ho riscritto un po' i coefficienti usando i fattoriali*) e ponendo $x=x_0$, vedi che tutte le potenze dentro la sommatoria si annullano; quindi tutta la sommatoria è nulla e ti rimane solo il primo addendo, che è appunto $k!a_k$.

P.S.: per le formule, vedi qui.

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* Quest'ultimo fatto è più estetico che non sostanziale.

[tech1]

Grazie per le risposte; Sono riuscito a capire da dove deriva $k!*a_k$, però non riesco a comprendere come i termini fattoriali corrispondano a quelli della somma originaria ....me li potreste esplicitare??? Grazie ancora.

[gugo82]

Basta applicare la definizione di fattoriale e semplificare i prodotti: in tal modo trovi proprio $(n!)/((n-k)!)=n*(n-1)*\ldots*(n-k+1)$.

[tech1]

scusa se insisto ancora ma $ (n!)/(n-k)!$ non riesco a capire come faccia a diventare $n*(n-1)*.......*(n-k+1)$

[gugo82]

Tieni presente che, trovato $m!$, per calcolare $n!$ con $n>m$ basta moltiplicare $m!$ per $n*(n-1)*\ldots*(m+2)*(m+1)$: quindi, prendendo $m=n-k
$n! =n*(n-1)*\ldots*(n-k+1)*(n-k)! => (n!)/((n-k)!)=n*(n-1)*\ldots*(n-k+1)$.

[tech1]

potresti farmi un semplice esempio numerico del calcolo di$n!$ dato $m!$ con $n>m$

[tech1]

Grazie molte per il Tuo aiuto, un ultima cosa: i termini che hai scritto con i fattoriali sono equicvalenti ad $n(n-1)......(n-k+1)$ giusto??

[gugo82]

"tech":potresti farmi un semplice esempio numerico del calcolo di$n!$ dato $m!$ con $n>m$

Prova da solo, mica è difficile (ad esempio, $m=3,n=5$).

"tech":Grazie molte per il tuo aiuto, un ultima cosa: i termini che hai scritto con i fattoriali sono equivalenti ad $n(n-1)......(n-k+1)$ giusto??

Non equivalenti, proprio uguali.