Serie di taylor
Sapete dove posso trovare la dimostrazione?
Risposte
La dimostrazione di che?
"Gugo82":
La dimostrazione di che?
Forse vuole sapere quali sono le basi teoriche della serie di Taylor.
"franced":
[quote="Gugo82"]La dimostrazione di che?
Forse vuole sapere quali sono le basi teoriche della serie di Taylor.[/quote]
A volte mi chiedo se scrivere un post comprensibile per gli altri utenti sia davvero uno sforzo tanto immane...
Ad ogni modo, un buon libro di Analisi I e/o II e passa la paura.
"Gugo82":
A volte mi chiedo se scrivere un post comprensibile per gli altri utenti sia davvero uno sforzo tanto immane...
Ad ogni modo, un buon libro di Analisi I e/o II e passa la paura.
A volta capita di leggere delle cose incomprensibili!
intendevo che come dimostrazione su internet, dicono di derivare continuamente il logaritmo.Però non capisco come poi si possa arrivare alla formula. Scusate la non chiarezza.
"kekko89":
intendevo che come dimostrazione su internet, dicono di derivare continuamente il logaritmo.Però non capisco come poi si possa arrivare alla formula. Scusate la non chiarezza.
Kekko, calma e sangue freddo.
Ti serve studiare la dimostrazione dello sviluppo in serie di Taylor-McLaurin di qualche funzione particolare (tipo esponenziale, seno, coseno, logaritmo, etc...)?
Oppure vuoi una panoramica sulla teoria generale delle serie di potenze e sul loro legame con la serie di Taylor-McLaurin (nello specifico il teorema che afferma "Se una serie di potenze converge in un aperto, allora essa è la serie di Taylor-McLaurin della sua somma")?
Quello che mi pare aver capito è che non ti serve solo una tabella con gli sviluppi fondamentali...
Ad ogni modo qualcosa la trovi, come sempre, su wikipedia.
Forse si chiedeva la dimostrazione di questo:
sia f una funzione definita da in un intervallo aperto con valori in R, derivabile n-1 volte nell'intervallo e n volte in almeno un punto interno all'intervallo (con $n>=1$), allora esiste $P_(x_0)^(n)(x):f(x)=P_(x_0)^(n)(x)+o((x-x_0)^n)$ con
$P_(x_0)^(n)(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+((f^(n)(x_0)(x-x_0)^n)/(n!))$
sia f una funzione definita da in un intervallo aperto con valori in R, derivabile n-1 volte nell'intervallo e n volte in almeno un punto interno all'intervallo (con $n>=1$), allora esiste $P_(x_0)^(n)(x):f(x)=P_(x_0)^(n)(x)+o((x-x_0)^n)$ con
$P_(x_0)^(n)(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+((f^(n)(x_0)(x-x_0)^n)/(n!))$
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Mercator
a questa pagina..mi dice che la serie può essere trovata, differenziando continuamente la funzione logaritmo..Ecco,non capisco questo punto.. (non è mai stato il mio forte spiegarmi..scusate)
a questa pagina..mi dice che la serie può essere trovata, differenziando continuamente la funzione logaritmo..Ecco,non capisco questo punto.. (non è mai stato il mio forte spiegarmi..scusate)
Per prima cosa devi calcolare i coefficienti dello sviluppo che sono dati da :
$f(x)=ln(1+x )$ adesso calcola $f(0)=0 $
$f'(x)=1/(1+x) $ calcola $f'(0)=1 $
$f''(x)= -1/(1+x)^2 $ ; $ f''(0)= -1 $
$f'''(x)= 2/(1+x)^3 $ ;$ f'''(0) = 2 $ etc.
Adesso riprendendo lo sviluppo di Taylor di punto iniziale $ x=0 $ che in questo caso si chiama sviluppo di Mc Laurin si ottiene :
$f(x) = f(0) +f'(0)x +f''(0)x^2/2 +f'''(0)x^3/(3!)+.... +(f^[n](0)x^n)/(n!)+...$ essendo $f^n $ la derivata n-esima
Sostituendo i valori numerici trovati si ha alla fine :
$ln(1+x )= 0+1*x-x^2/2+2x^3/6+.... = x-x^2/2 +x^3 /3+... $ che si può scrivere in modo compatto come
$ln(1+x)= sum_(n=1)^oo( (-1)^(n+1)x^n)/n $.
$f(x)=ln(1+x )$ adesso calcola $f(0)=0 $
$f'(x)=1/(1+x) $ calcola $f'(0)=1 $
$f''(x)= -1/(1+x)^2 $ ; $ f''(0)= -1 $
$f'''(x)= 2/(1+x)^3 $ ;$ f'''(0) = 2 $ etc.
Adesso riprendendo lo sviluppo di Taylor di punto iniziale $ x=0 $ che in questo caso si chiama sviluppo di Mc Laurin si ottiene :
$f(x) = f(0) +f'(0)x +f''(0)x^2/2 +f'''(0)x^3/(3!)+.... +(f^[n](0)x^n)/(n!)+...$ essendo $f^n $ la derivata n-esima
Sostituendo i valori numerici trovati si ha alla fine :
$ln(1+x )= 0+1*x-x^2/2+2x^3/6+.... = x-x^2/2 +x^3 /3+... $ che si può scrivere in modo compatto come
$ln(1+x)= sum_(n=1)^oo( (-1)^(n+1)x^n)/n $.
"kekko89":
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Mercator
a questa pagina..mi dice che la serie può essere trovata, differenziando continuamente la funzione logaritmo..Ecco,non capisco questo punto.. (non è mai stato il mio forte spiegarmi..scusate)
Ok , ora va meglio.
Per ricavare lo sviluppo di Mercator la strada più semplice è quella di applicare il Teorema di Integrazione Termine a Termine per le serie di potenze con raggio di convergenza non nullo alla serie armonica alternata: infatti tale teorema ti assicura che la serie degli integrali di $\sum_(n=0)^(+oo) (-1)^nx^n$ con punto iniziale $0$ (la quale è ancora una serie di potenze) converge almeno per $|x|<1$ verso una funzione $f$ di classe $C^oo$ tale che $f'(x)=\sum_(n=0)^(+oo) (-1)^nx^n=1/(1+x)$ in $]-1,1[$; per il teorema fondamentale del calcolo integrale hai allora:
$f(x)-f(0)=\int_0^x f'(t)" d"t=\int_0^x 1/(1+t)" d"t=[log(1+t)]_(t=0)^(x)=log(1+x) quad =>$
$quad => quad f(x)=f(0)+log(1+x) quad$ per $x in ]-1,1[$
e d'altra parte, per la stessa definizione di $f$ è:
$f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n\int_0^xt^n" d"t=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/(n+1)x^(n+1)$
con $f(0)=0$. Confrontando le due espressioni per $f$ trovi facilmente:
(*) $quad log(1+x)=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/(n+1)x^(n+1)$.
Queste, però, sono tecniche da Analisi II.
La strada inversa, ossia derivare la serie di Mercator (che poi sarebbe la serie di Taylor-McLaurin per la funzione $log(1+x)$) è praticabile anche solo con strumenti di Analisi I: tutto ciò di cui hai bisogno è determinare l'espressione di ogni derivata di $log(1+x)$, cosa che si può fare agevolmente.
Infatti, posto $f(x)=log(1+x)$ troviamo:
$f'(x)=1/(1+x)$, $quad f''(x)=-1/(1+x)^2$, $quad f'''(x)=2/(1+x)^3$, $quad f''''(x)=-6/(1+x)^4 quad$...
e non è difficile dimostrare per induzione (prova a farlo!) che:
$AA n in NN, quad f^((n))(x)=(-1)^(n-1)*((n-1)!)/(1+x)^n$.
Ora, visto che vuoi scrivere lo sviluppo in serie di Taylor-McLaurin centrato in $x=0$, ti serve conoscere il valore assunto in $0$ da ogni derivata di $f$: sfruttando l'espressione precedente trovi:
$AA n in NN, quad f^((n))(0)=(-1)^(n-1)*(n-1)!$
e però $f(0)=0$; ricordando che l'$n$-esimo coefficiente dello sviluppo in serie di Taylor centrato in $0$ si esprime come $a_n=(f^((n))(0))/(n!)$ hai infine:
$AA n in NN, quad a_n=(-1)^(n-1)*((n-1)!)/(n!)=(-1)^(n-1)/n$.
Ne consegue che:
(**) $quad log(1+x)=\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n-1)/n*x^n$.
Sorprendentemente la (*) sembra differire dalla (**), ma tale differenza è solo apparente in quanto basta sostituire $m=n-1$ in (**) (ciò si esprime dicendo che si "sposta l'indice d'una unità verso il basso") per ottenere la (*).
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Buono studio.
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