Serie di segno variabile

[davide.fede1]

Salve, mi sono bloccato ad un punto studiando la convergenza della serie $\sum_{n=1}^oo [(-1)^n]/[sqrt(n)][1-cos(1/root(3)(n))]$ . Ho applicato il teorema di Leibniz e dimostrato che si tratti di una successione infinitesima, infatti il $\lim_{n \to \infty}1-cos(1/root(3)(n))$ $=$ $0$ . Però quando vado a dimostrare che $a_{n}$ sia una successione non crescente e pongo $1-cos(1/root(3)(n+1)) < 1-cos(1/root(3)(n))$ non so come procedere. Mi aiutate ? Deve uscire che la serie è assolutamente convergente.

[pilloeffe]

Ciao davide.fede,

In realtà non è difficile scoprire che la serie proposta è assolutamente convergente dato che si comporta come la serie

$sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^{\alpha} $

con $\alpha = 2/3 + 1/2 = 7/6 > 1 $, pertanto la serie proposta è convergente.

[davide.fede1]

Grazie mille, un'ultima cosa. Come faccio a sapere che converga assolutamente e non semplicemente ?

[davide.fede1]

Inoltre poiché è una serie a segni alterni, nonostante provi non riesco a ricondurla alla serie $\sum_{n=1}^oo 1/n^(a)$ . Mi mostreresti come fare ?

[pilloeffe]

"davide.fede":Come faccio a sapere che converga assolutamente e non semplicemente ?

Per un ben noto teorema, se una serie converge assolutamente allora converge anche semplicemente. Non è vera l'implicazione inversa, infatti ad esempio la serie

$sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n 1/n $

converge semplicemente, ma non assolutamente (diventa la serie armonica, notoriamente divergente).

"davide.fede":Inoltre poiché è una serie a segni alterni, nonostante provi non riesco a ricondurla alla serie $sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^a $. Mi mostreresti come fare ?

Si ha:

$ sum_{n=1}^{+\infty} |[(-1)^n]/[sqrt(n)][1-cos(1/root(3)(n))]| = sum_{n=1}^{+\infty} frac{|1-cos(1/root(3)(n))|}{sqrt(n)} = $
$ = sum_{n=1}^{+\infty} frac{1-cos(1/root(3)(n))}{sqrt(n)} $[tex]\sim[/tex] $ sum_{n=1}^{+\infty} frac{1/2 \cdot (1/root(3)(n))^2}{sqrt(n)} = 1/2 sum_{n=1}^{+\infty} frac{(1/root(3)(n))^2}{sqrt(n)} = 1/2 sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^{1/2} \cdot n^{2/3}} = 1/2 sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^{7/6}} $

L'ultima serie scritta è convergente perché è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 7/6 = 1 + 1/6 > 1 $

[davide.fede1]

Scusami pilloeffe, non capisco cosa hai fatto al quarto passaggio, quando hai scritto $1/2$ moltiplicato per il resto

[pilloeffe]

Beh, tieni presente che

$ lim_{f(n) \to 0} frac{1 - cos[f(n)]}{[f(n)]^2} = 1/2 $

quindi...