Serie di potenze/funzioni
Salve volevo chiedervi due cose:
1) vorrei sapere se i risultati che mi sono venuti di queste serie di potenze sono giusti o meno (purtroppo non ho le soluzioni e nn so mai se faccio bene o malee)
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac {x^n}{n^2}\] int. Convergenza [-1, 1]
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac {x^n}{\sqrt(n)}\] int. Convergenza (-1, 1]
2) volevo chiedervi una cosa riguardante questa serie di funzioni
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{x^4+3n^4}\]
Il mio prof durante il corso non la svolge nella maniera solita ma fa considerazioni sulla sua derivata prima e studia il segno della derivata prima.io vorrei sapere xk fa cosi? È un ulteriore metodo che mi sono persa per risolvere le serie di funzioni? Deriva dal teorema di derivazione termine a termine per serie?
Grazie mille
1) vorrei sapere se i risultati che mi sono venuti di queste serie di potenze sono giusti o meno (purtroppo non ho le soluzioni e nn so mai se faccio bene o malee)
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac {x^n}{n^2}\] int. Convergenza [-1, 1]
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac {x^n}{\sqrt(n)}\] int. Convergenza (-1, 1]
2) volevo chiedervi una cosa riguardante questa serie di funzioni
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{x^4+3n^4}\]
Il mio prof durante il corso non la svolge nella maniera solita ma fa considerazioni sulla sua derivata prima e studia il segno della derivata prima.io vorrei sapere xk fa cosi? È un ulteriore metodo che mi sono persa per risolvere le serie di funzioni? Deriva dal teorema di derivazione termine a termine per serie?
Grazie mille
Risposte
Hey c'e' qualcuno che puo aiutarmi per favore? 
La successione di funzioni è definita in tutto $\RR;$ inoltre, per ogni $x\in\RR, $ si ha che la successione converge puntualmente alla funzione $f(x)=0,$ infatti:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{x }{x^4+n^4} =0.
\end{align*}
Per vedere se c'è convergenza uniforme, bisognerà verificare se
\begin{align*}
\lim_{n }\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_n(x)-f(x)\right|=0,
\end{align*}
ovvero se
\begin{align*}
\lim_{n }\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{x }{x^4+n^4} -0\right| =\lim_{n }\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{x }{x^4+n^4} \right|=0.
\end{align*}
In effetti, posto $f(x):=\frac{x }{x^4+n^4},$abbiamo che:
\begin{align*}
f'(x)=\frac{n^4-3x^4}{(x^4+n^4)^2} \quad&\Rightarrow\quad f'(x)\ge0\quad\Leftrightarrow\quad n^4-3x^4\ge0\quad\Leftrightarrow\quad -\frac{n }{\sqrt[4]{3}}\le x \le \frac{n }{\sqrt[4]{3}};
\end{align*}
la funzione raggiunge l'estremo superiore nel punto $ n /(\root[4]{3}) $ e quindi il valore assunto dalla funzione sarà:
\begin{align*}
f\left(\frac{n }{\sqrt[4]{3}}\right)=\frac{\frac{n }{\sqrt[4]{3}}}{\left(\frac{n }{\sqrt[4]{3}}\right)^4+n^4}=\frac{3^{3/4}}{4n^3};
\end{align*}
allora:
\begin{align*}
\lim_{n }\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{x }{x^4+n^4} -0\right| = \lim_{n\to+\infty} \left|\frac{3^{3/4}}{4n^3}\right|=\lim_{n\to+\infty} \frac{3^{3/4}}{4n^3} =0,
\end{align*}
e quindi la successione converge uniformemente in tutto $\RR.$
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{x }{x^4+n^4} =0.
\end{align*}
Per vedere se c'è convergenza uniforme, bisognerà verificare se
\begin{align*}
\lim_{n }\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_n(x)-f(x)\right|=0,
\end{align*}
ovvero se
\begin{align*}
\lim_{n }\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{x }{x^4+n^4} -0\right| =\lim_{n }\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{x }{x^4+n^4} \right|=0.
\end{align*}
In effetti, posto $f(x):=\frac{x }{x^4+n^4},$abbiamo che:
\begin{align*}
f'(x)=\frac{n^4-3x^4}{(x^4+n^4)^2} \quad&\Rightarrow\quad f'(x)\ge0\quad\Leftrightarrow\quad n^4-3x^4\ge0\quad\Leftrightarrow\quad -\frac{n }{\sqrt[4]{3}}\le x \le \frac{n }{\sqrt[4]{3}};
\end{align*}
la funzione raggiunge l'estremo superiore nel punto $ n /(\root[4]{3}) $ e quindi il valore assunto dalla funzione sarà:
\begin{align*}
f\left(\frac{n }{\sqrt[4]{3}}\right)=\frac{\frac{n }{\sqrt[4]{3}}}{\left(\frac{n }{\sqrt[4]{3}}\right)^4+n^4}=\frac{3^{3/4}}{4n^3};
\end{align*}
allora:
\begin{align*}
\lim_{n }\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{x }{x^4+n^4} -0\right| = \lim_{n\to+\infty} \left|\frac{3^{3/4}}{4n^3}\right|=\lim_{n\to+\infty} \frac{3^{3/4}}{4n^3} =0,
\end{align*}
e quindi la successione converge uniformemente in tutto $\RR.$
Ciao grazie della tua risposta:) volevo chiederti quando tu fai il limite per n---'> infinito della funzione tu stai facendo la condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza che vediamo esssere soddisfatta per ogni x però questo non basta x poter dire che converge, devo applicare qualche criterio altrimenti solo questo non mi può assicurare che converga giusto?
Poi altra cosa la tua derivata non è giusta perché hai dimenticato un 3 al denominatore comunque al di là dei calcoli nella tua derivata(quella fatta senza il 3) hai trasxurato qualcosa xk viene \[\frac {n^4-3x^4-4n^3x}{(x^4+n^4)^2}\]. )'hai fatto xk mi facilita i conti e posso trascurarlo senza problemi oppure era solo una dimenticanza.?
Inoltre il mio peof invce di calcolare il sgno della deeivata prjma nello specifico come hai fatto tu e come verrebbe fatto in un normale studio di funzione fa semplixemente questa osservazione f (n)= \[\frac {n}{4n^4}\] che è \[\frac {1}{4n^3}\] e quindi dice \[\frac {x}{x^4+3n^4}\leq\frac {1}{4n^3}\] e ha detto"sono tutte maggiorate dal massimo"Perché questa considerazione?io volendo l*ho piu o meno capita ma nn capisco come ci è arrivato.
Infine se puo dai un attimo uno sguardo alle serie di potenze della domanda 1)
Poi altra cosa la tua derivata non è giusta perché hai dimenticato un 3 al denominatore comunque al di là dei calcoli nella tua derivata(quella fatta senza il 3) hai trasxurato qualcosa xk viene \[\frac {n^4-3x^4-4n^3x}{(x^4+n^4)^2}\]. )'hai fatto xk mi facilita i conti e posso trascurarlo senza problemi oppure era solo una dimenticanza.?
Inoltre il mio peof invce di calcolare il sgno della deeivata prjma nello specifico come hai fatto tu e come verrebbe fatto in un normale studio di funzione fa semplixemente questa osservazione f (n)= \[\frac {n}{4n^4}\] che è \[\frac {1}{4n^3}\] e quindi dice \[\frac {x}{x^4+3n^4}\leq\frac {1}{4n^3}\] e ha detto"sono tutte maggiorate dal massimo"Perché questa considerazione?io volendo l*ho piu o meno capita ma nn capisco come ci è arrivato.
Infine se puo dai un attimo uno sguardo alle serie di potenze della domanda 1)
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