Serie di potenze.. un dubbio su raggio di convergenza..
Ciao a tutti, oggi mi sono ritrovato questo esercizio su una serie di potenze. Ho un dubbio aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Discutere la convergenza della serie di potenze $ \sum_(n=0)^(+\infty) (1+3(n+1)!)/((15)^n n!)x^n $
ho pensato di svolgere così
il termine generale $ a_n=(1+3(n+1)!)/((15)^n n!) $
lo spezzo in 2 $ a_n=(1+3(n+1)!)/((15)^n n!)=(1)/((15)^n n!)+(3(n+1)!)/((15)^n n!) $
così il secondo addendo, posso semplificarlo considerando che $ (n+1)! = (n+1) n! $
così ho $ a_n=(1)/((15)^n n!)+(3(n+1))/((15)^n ) $
ora il mio dubbio è il raggio di convergenza lo ottengo.. facendo il criterio della radice sul primo addendo più il criterio della radice (o del rapporto) sul secondo addendo..
in poche parole quello che voglio dire è se si può fare $ R=R_1+R_2 $
ove $ R_1, R_2 $ sono i raggi di convergenza del primo e del secondo addendo..
È corretto fare così?..ho questo dubbio
Anche se forse.. non so se sono sulla strada giusta.. 
Discutere la convergenza della serie di potenze $ \sum_(n=0)^(+\infty) (1+3(n+1)!)/((15)^n n!)x^n $
ho pensato di svolgere così
il termine generale $ a_n=(1+3(n+1)!)/((15)^n n!) $
lo spezzo in 2 $ a_n=(1+3(n+1)!)/((15)^n n!)=(1)/((15)^n n!)+(3(n+1)!)/((15)^n n!) $
così il secondo addendo, posso semplificarlo considerando che $ (n+1)! = (n+1) n! $
così ho $ a_n=(1)/((15)^n n!)+(3(n+1))/((15)^n ) $
ora il mio dubbio è il raggio di convergenza lo ottengo.. facendo il criterio della radice sul primo addendo più il criterio della radice (o del rapporto) sul secondo addendo..
in poche parole quello che voglio dire è se si può fare $ R=R_1+R_2 $
ove $ R_1, R_2 $ sono i raggi di convergenza del primo e del secondo addendo..
È corretto fare così?..ho questo dubbio
Anche se forse.. non so se sono sulla strada giusta..
Risposte
ti rispondo con una domanda
in generale si può dire che $ root(n)((b_n+c_n) )=root(n)(b_n)+root(n)(c_n) $ ?
in generale si può dire che $ root(n)((b_n+c_n) )=root(n)(b_n)+root(n)(c_n) $ ?
"stormy":
ti rispondo con una domanda
in generale si può dire che $ root(n)((b_n+c_n) )=root(n)(b_n)+root(n)(c_n) $ ?
No!.. è sbagliato fare così..
Allora sono al punto di partenza.. come calcolo il raggio di convergenza?..
un suggerimento?..
potrei utilizzare il criterio asintotico..
posso dire che (il numeratore) \( 1+3(n+1)!\sim 3(n+1)! \) per \( n \to +\infty \)
quindi si ha che \( a_n \sim \frac{3(n+1)!}{(15)^n n!} \)
e ora si ha \( \frac{3(n+1)!}{(15)^n n!}= \frac{3(n+1)n!}{(15)^n n!}=\frac{3(n+1)}{(15)^n} \)
e ora applico il criterio della radice e poi mi ricavo il raggio..
Giusto come procedimento?..
fatto questo discorso di principio,l'1 al numeratore è trascurabile
"stormy":
fatto questo discorso di principio,l'1 al numeratore è trascurabile
ti ho risposto modificando il messaggio!..
ah,ecco...
sì,direi che sia proprio il ragionamento da fare
sì,direi che sia proprio il ragionamento da fare
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