Serie di potenze-studio convergenza
Ciao a tutti,
oggi volevo proporre una serie di potenze, il testo dice:
Studiare la convergenza semplice ed uniforme della serie di funzioni
$sum_(n=1)^(\infty) (1/n-log((n+1)/n))x^n, AAx in R^+$
per studiare la convergenza semplice è sufficiente studiare la convergenza uniforme, il mio libro di testo dice che una serie convergente uniformemente lo è anche semplicemente. Inoltre se la serie è completamete convergente lo è anche uniformemente. Quindi applico il teorema per determinare il raggio di convergenza:
$lim_(nto\infty)|a_n/a_(n+1)| = |1|$
Quindi nei punti propri dell'intervallo $]0;1[$ la serie è totalmente convergente ne segue che nei punti interni di tale intervallo la serie è uniformemente e semplicemente convergente. Adesso non resta che determina il carattere della serie per x=0 e x=1. Per x=0 il discorso sarebbe banale, ma nella consegna la x è diversa da zero, quindi non resta altro che determinare il carattere della seri per $x=1$. Fa cendo il confronto con la serie armonica generalizzata
$sum_(n=0)^(infty)1/n^(alpha), alpha=2$ si trova che la serie data ha lo stesso carattere della serie armonica ad esponente due. Detto così non sembra che si debba fare nulla, il problema è che non riesco a sciogliere la forma indeterminata che si viene a creare quando ricerco il limite:
$lim_(ntoinfty)n-n^2log((n+1)/n)$
Si tratta del limite che si è costretti a calcolare applicando il criterio del confronto tra serie numeriche, so per certo che ha valore 1/2 (anche perchè ho usato derive) ma non so come diavolo sciogliere la forma indeterminata.
oggi volevo proporre una serie di potenze, il testo dice:
Studiare la convergenza semplice ed uniforme della serie di funzioni
$sum_(n=1)^(\infty) (1/n-log((n+1)/n))x^n, AAx in R^+$
per studiare la convergenza semplice è sufficiente studiare la convergenza uniforme, il mio libro di testo dice che una serie convergente uniformemente lo è anche semplicemente. Inoltre se la serie è completamete convergente lo è anche uniformemente. Quindi applico il teorema per determinare il raggio di convergenza:
$lim_(nto\infty)|a_n/a_(n+1)| = |1|$
Quindi nei punti propri dell'intervallo $]0;1[$ la serie è totalmente convergente ne segue che nei punti interni di tale intervallo la serie è uniformemente e semplicemente convergente. Adesso non resta che determina il carattere della serie per x=0 e x=1. Per x=0 il discorso sarebbe banale, ma nella consegna la x è diversa da zero, quindi non resta altro che determinare il carattere della seri per $x=1$. Fa cendo il confronto con la serie armonica generalizzata
$sum_(n=0)^(infty)1/n^(alpha), alpha=2$ si trova che la serie data ha lo stesso carattere della serie armonica ad esponente due. Detto così non sembra che si debba fare nulla, il problema è che non riesco a sciogliere la forma indeterminata che si viene a creare quando ricerco il limite:
$lim_(ntoinfty)n-n^2log((n+1)/n)$
Si tratta del limite che si è costretti a calcolare applicando il criterio del confronto tra serie numeriche, so per certo che ha valore 1/2 (anche perchè ho usato derive) ma non so come diavolo sciogliere la forma indeterminata.
Risposte
Abbiamo $1/n-log(1+1/n)$
Per $n->oo$
$log(1+1/n)\~~1/n-1/(2n^2)+...$
Per $n->oo$
$log(1+1/n)\~~1/n-1/(2n^2)+...$
scusa la mia ignoranza quinzio.
$lim_(ntoinfty)n-n^2log((n+1)/n)=lim_(ntoinfty)n^2(1/n-log(1+1/n))=^?lim_(ntoinfty)n^2(1/(2n^2))=1/2$
se si come si chiama il criterio che applichiamo, confronto asintotico oppure sviluppo di MacLaurin?
sono confuso perchè quando applico lo sviluppo di MacLaurin non so mai a che termine bloccare la serie di funzioni, esiste un criterio che ne governa il comportamento?
$lim_(ntoinfty)n-n^2log((n+1)/n)=lim_(ntoinfty)n^2(1/n-log(1+1/n))=^?lim_(ntoinfty)n^2(1/(2n^2))=1/2$
se si come si chiama il criterio che applichiamo, confronto asintotico oppure sviluppo di MacLaurin?
sono confuso perchè quando applico lo sviluppo di MacLaurin non so mai a che termine bloccare la serie di funzioni, esiste un criterio che ne governa il comportamento?
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