Serie di potenze nulla

[dargo1]

Ciao,

vorrei chiedere una mano sulla comprensione del perché una serie di potenze è nulla se e solo se i suoi coeffcienti sono tutti nulli.
Mi parrebbe un semplice SE, infatti se considere x=0 (e una sdp centrata nell'origine) rimarrebbe solo il primo coefficiente da annullare, gli altri lo sono già.

Grazie per gli aiuti

[anto_zoolander]

Una serie di potenza per essere nulla deve esserlo in ogni punto non solo in $x=0$

[dargo1]

Avevo frainteso il concetto di nullità di serie di potenze in effetti. In sostanza si certa la serie identicamente nulla.

Domanda: non ho trovato la dimostrazione della proposizione in grassetto di cui sopra nel primo post. Come potrei dimostrarlo?

Grazie anto e buona giornata

[gugo82]

In realtà la cosa è semplice.
Per noti fatti di teoria, se una s.d.p. $sum c_n (x - x_0)^n$ converge ad $f(x)$ in un intervallo $I$ (di centro $x_0$) non ridotto ad un solo punto, allora $f(x)$ è di classe $C^oo$ internamente ad $I$ e la serie $sum c_n (x - x_0)^n$ coincide con la serie di Taylor di $f(x)$ centrata in $x_0$. Pertanto, risulta $c_n = (f^((n))(x_0))/(n!)$ per ogni indice $n$.

Ora, se $f(x)=0$ identicamente in $I$, si ha $f^((n))(x_0) = 0$ per ogni indice $n$ (ed ogni $x_0$), dunque $c_n=0$.