Serie di potenze nel campo complesso (convergenza totale)

[Seneca1]

Posto una banale verifica per sapere se mi sto muovendo bene...

Sia [tex]$\sum a_n z_^n$[/tex] una serie di potenze nel campo complesso che abbia raggio di convergenza [tex]$R \ne 0$[/tex]. Sia [tex]$C_{r_0}$[/tex] un cerchio centrato nell'origine di raggio [tex]$r_0 < R$[/tex] e sia [tex]$\Omega \subset C_{r_0}$[/tex]. Verificare che la serie data converge totalmente in [tex]$\Omega$[/tex].

Verifica:

Per provare la convergenza totale bisogna verificare che converge la serie delle norme, cioè

[tex]$\sum \lVert a_n z^n \rVert = \sum \sup_{z \in \Omega} | a_n z^n |$[/tex]

per le proprietà dei moduli si trova [tex]$\sum |a_n| \sup_{z \in \Omega} | z^n |$[/tex] ma poiché [tex]$z \in \Omega$[/tex] sono tali che [tex]$| z | < r_0$[/tex] si ha:

[tex]$\sum |a_n {r_0}^n |$[/tex] che è una serie maggiorante della serie delle norme, la quale converge per il lemma di Abel. Da cui la convergenza totale.

Grazie delle eventuali correzioni.

[Rigel1]

Non ho capito l'uso del lemma di Abel. Sia già che $\sum |a_n| r_0^n$ è convergente, dal momento che sai già che la serie converge assolutamente in ogni punto $|z|

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[Seneca1]

Già, è vero! Il resto va bene?

Grazie Rigel.

[Rigel1]

Direi di sì; volendo, si possono compattare un po' le disuguaglianze precedenti:
$|a_n z^n| = |a_n| \cdot |z|^n \le |a_n| r_0^n$ per ogni $z\in C_{r_0}$.
(Nella sostanza è ovviamente la stessa cosa.)

[Seneca1]

Grazie ancora.