Serie di potenze nel campo complesso
Salve a tutti!
Ho appena svolto il seguente esercizio:
" Determinare nel campo complesso il cerchio aperto di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=1}^{infty}(e^(i\n)(z+i)^n)/(2^n(1+n^2))$ "
Siccome non sono sicuro di averlo risolto correttamente, vorrei il parere di qualcuno più esperto di me.
Per prima cosa individuo il centro della serie, che dovrebbe essere il punto $z=-i$
Successivamente mi calcolo il raggio di convergenza tramite la formula $r=[\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|)]^(-1)$
Mi calcolo $|a_n|$:
$|(e^(i\n))/(2^n(1+n^2))|=(|e^(i\n)|)/(|2^n(1+n^2)|)=1/(2^n(1+n^2))$
(ho qualche dubbio su quest'ultimo passaggio)
Calcolo il limite:
$\lim_{n \to \infty}root(n)(1/(2^n(1+n^2)))=\lim_{n \to \infty}1/(root(n)(2^n)root(n)(1+n^2))\sim\lim_{n \to \infty}1/(root(n)(2^n)root(n)(n^2))=1/2$
quindi il raggio mi risulta di ampiezza 2.
Concluderei affermando che il cerchio aperto di convergenza risulta centrato in $z=-i$ e di raggio $r=2$
Oltre a sapere se ho svolto correttamente l'esercizio, mi piacerebbe sapere anche come descrivere rigorosamente il cerchio di convergenza.
Come sempre grazie in anticipo a tutti!
Ho appena svolto il seguente esercizio:
" Determinare nel campo complesso il cerchio aperto di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=1}^{infty}(e^(i\n)(z+i)^n)/(2^n(1+n^2))$ "
Siccome non sono sicuro di averlo risolto correttamente, vorrei il parere di qualcuno più esperto di me.
Per prima cosa individuo il centro della serie, che dovrebbe essere il punto $z=-i$
Successivamente mi calcolo il raggio di convergenza tramite la formula $r=[\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|)]^(-1)$
Mi calcolo $|a_n|$:
$|(e^(i\n))/(2^n(1+n^2))|=(|e^(i\n)|)/(|2^n(1+n^2)|)=1/(2^n(1+n^2))$
(ho qualche dubbio su quest'ultimo passaggio)
Calcolo il limite:
$\lim_{n \to \infty}root(n)(1/(2^n(1+n^2)))=\lim_{n \to \infty}1/(root(n)(2^n)root(n)(1+n^2))\sim\lim_{n \to \infty}1/(root(n)(2^n)root(n)(n^2))=1/2$
quindi il raggio mi risulta di ampiezza 2.
Concluderei affermando che il cerchio aperto di convergenza risulta centrato in $z=-i$ e di raggio $r=2$
Oltre a sapere se ho svolto correttamente l'esercizio, mi piacerebbe sapere anche come descrivere rigorosamente il cerchio di convergenza.
Come sempre grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Giusto.
Il cerchio di convergenza e` \(D(-\imath; 2) := \{ z\in \mathbb{C}:\ |z+\imath|<2 \}\).
Aggiungo: e` possibile stabilire cosa succede sul bordo?
Il cerchio di convergenza e` \(D(-\imath; 2) := \{ z\in \mathbb{C}:\ |z+\imath|<2 \}\).
Aggiungo: e` possibile stabilire cosa succede sul bordo?
ok grazie mille per la risposta!
Sul bordo non si dovrebbe controllare punto per punto cosa succede?
"Gost91":
Sul bordo non si dovrebbe controllare punto per punto cosa succede?
Beh, si`, ma lo si puo` sempre fare in maniera intelligente.
Un punto $z$ sta su \(\partial D (- \imath ;2)\) se e solo se esso si scrive come \(-\imath+2\ e^{\imath\ \theta}\), ove $\theta \in [0,2\pi[$; andando a sostituire nella serie si trova la serie numerica complessa:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{\imath (\theta +1) n}}{1+n^2}
\]
che e` maggiorata in modulo dalla serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}\), quindi...
l'insieme di convergenza della serie comprende anche il bordo del cerchio, quindi ${z\inCC : |z+i|<=2}$
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