Serie di potenze mascherata!

[lorenzorus]

Salve vorrei riproporvi un esercizio che mi è capitato su una serie di funzioni riconducibile a serie di potenze. L'esercizio è il seguente:

Determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza uniforme della seguente serie di funzioni:

$ sum e^{nx}/(sqrt(n+5)+n) $

già mi è stato suggerito di procedere portando a serie di potenze ponendo $ e^{x}=t $ e di studiare con uno dei criteri relativi al caso... ora a me il raggio viene uguale a 1 per le t ma $ e^{x} $ è definita per le $ x > 0 $ come risolvo la questione della convergenza uniforme e degli estremi? Vi prego aiutatemi al più presto!

[gugo82]

Vedi appunti linkati qui.

[lorenzorus]

non ho trovato quello che mi serviva...

[gugo82]

Sicuro che un esponenziale è definito solo per [tex]$x>0$[/tex]?
Probabilmente dovresti cercare una risposta sul libro di Analisi I...

Mi pare che il problema sia trattato in quei fogli; precisamente alla pagina 2, dove c'è la sezione Che tipo di convergenza c'è da aspettarsi per la (1) nel suo insieme di convergenza [tex]$D$[/tex]?. L'ho scritta a posta.

[lorenzorus]

scusa volevo scrivere che $ e^{x} $non è mai minore di 0 mentre il raggio è uno; il mio problema è: devo restringere l'insieme di convergenza a $ 0 < t < 1 $ ? ho riletto il paragrafo e mi trovo con tutto ma nel caso specifico?

[gugo82]

C'è scritto anche come procedere per determinare l'insieme di convergenza (in Qual è l'insieme di convergenza di (1)?), senza troppi patemi d'animo.

L'insieme di convergenza della serie lo trovi risolvendo il sistema:

[tex]$\begin{cases} -1\leq e^x \\ e^x<1\end{cases}$[/tex]

che è immediato (roba da Analisi I).