Serie di potenze... (limite inside)
ciao a tutti, ho questo esercizio
devo calcolare il raggio di convergenze della serie, se le mie info non sono errate dovrei calcolare questo limite:
limite che va da n a più infinito della radice ennesima del valore assoluto del polinomio an (cioè quello che moltiplica $x^n$).
però non riesco proprio a svolgere questo limite... come posso fare?
devo calcolare il raggio di convergenze della serie, se le mie info non sono errate dovrei calcolare questo limite:
limite che va da n a più infinito della radice ennesima del valore assoluto del polinomio an (cioè quello che moltiplica $x^n$).
però non riesco proprio a svolgere questo limite... come posso fare?
Risposte
Considerata una serie di potenze $\sum_{n=0}^\infty c_n * x^n$ ci sono 2 modi per trovare L e di conseguenza il raggio di convergenza $-1/L
$\lim_{n \to \infty}|c_(n+1)/c_n|$ in questo caso ti conviene applicare questo. Infatti ottieni:
$\lim_{n \to \infty}|frac{3^(n+1)}{(n+1)^2+n+2} * frac {n^2+n+1}{3^n}|=lim_{n \to \infty}|frac{3n^2+3n+3}{n^2+3n+3}|=3$
quindi il raggio di convergenza è $-1/3
$\lim_{n \to \infty}|c_(n+1)/c_n|$ in questo caso ti conviene applicare questo. Infatti ottieni:
$\lim_{n \to \infty}|frac{3^(n+1)}{(n+1)^2+n+2} * frac {n^2+n+1}{3^n}|=lim_{n \to \infty}|frac{3n^2+3n+3}{n^2+3n+3}|=3$
quindi il raggio di convergenza è $-1/3
Ora che guardo meglio si può fare anche con il metodo da te descritto:
$\lim_{n \to \infty}|root(n)(frac{3^n}{n^2+n+1})|= lim_{n \to \infty}|frac{root(n)(3^n)}{root(n)(n^2+n+1)}|=lim_{n \to \infty}|frac{3}{n^(2/n)}|=3$
Spero di esserti stata di aiuto!
Ciao
$\lim_{n \to \infty}|root(n)(frac{3^n}{n^2+n+1})|= lim_{n \to \infty}|frac{root(n)(3^n)}{root(n)(n^2+n+1)}|=lim_{n \to \infty}|frac{3}{n^(2/n)}|=3$
Spero di esserti stata di aiuto!
Ciao
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