Serie di potenze: integrabilità termine a termine

[giozh]

come da teorema, se ho una serie di potenze con raggio di convergenza non nullo, ho che
[tex]\int_{x_0}^{x} f(t)dt =\sum_{0}^{+\infty} \frac{ a_n (x-x_0)^{n+1} }{n+1}[/tex]
posto [tex]f(x)=\sum_{0}^{+\infty} a_n (x-x_0)^n[/tex]
e fin qui nessun problema. il mio problema risiede nel dimostrare questo teorema. dai miei appunti, ho che dal teorema di derivazione termine a termine di una generica serie di funzioni, è richiesto come requisito la convergenza uniforme della funzione nell'insieme delimitato dai due estremi di integrazione.
quindi nel mio caso ho che devo avere convergenza uniforme in [tex][x_0,x][/tex]. supponendo ora [tex]x>x_0[/tex] (vi scrivo quello che ho scritto negli appunti) scelgo [tex]0x[/tex], e quindi in [tex][x_0-a, x_0+a[/tex] c'è convergenza totale, e di conseguenza ho convergenza uniforme in [tex][x_0,x][/tex].
ora quello che non mi è chiaro, è che non sempre posso avere convergenza totale in quell'intervallo giusto? quindi che ci sia convergenza totale li è un requisito che deve essere soddisfatto?

[ViciousGoblin]

Non sono sicuro di capire cosa chiedi. Comunque se $R>0$ è il raggio di convergenza della serie, per poter "integrare per serie" sull'intervallo
$[x_0,x]$ ($x_0$ è il centro dello sviluppo) hai bisogno di $|x-x_0|

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[giozh]

da quello che ho scritto sulle dispende, per l'integrabilità, la serie (non per forza di potenze) deve convergere uniformemente. e la convergenza totale implica la convergenza assoluta.
le dispense, da quello che puoi leggere nel mio post precedente, dicono che nell'intervallo [tex]x_0-a, x_0+a[/tex] c'è convergenza totale, e quello che mi chiedevo, è perchè c'è convergenza totale? c'è a prescindere, oppure, se c'è convergenza totale in quell'intervallo, posso integrare?

[ViciousGoblin]

"giozh":da quello che ho scritto sulle dispende, per l'integrabilità, la serie (non per forza di potenze) deve convergere uniformemente. e la convergenza totale implica la convergenza assoluta.
le dispense, da quello che puoi leggere nel mio post precedente, dicono che nell'intervallo [tex]x_0-a, x_0+a[/tex] c'è convergenza totale, e quello che mi chiedevo, è perchè c'è convergenza totale? c'è a prescindere, oppure, se c'è convergenza totale in quell'intervallo, posso integrare?

Chi è $a$ ?