Serie di potenze: equazione retta tangente
Salve, mi è stato chiesto nel seguente esercizio:
Data la serie di potenze
$ sum_((n = 0 to oo)) (x+3)^n/(3^n sqrt(n) $
detta f(x) la somma, determinare l'equazione della retta tangente a y=f(x) in x=-3
Mi spieghereste gentilmente come procedere per arrivare alla soluzione?
Grazie
Data la serie di potenze
$ sum_((n = 0 to oo)) (x+3)^n/(3^n sqrt(n) $
detta f(x) la somma, determinare l'equazione della retta tangente a y=f(x) in x=-3
Mi spieghereste gentilmente come procedere per arrivare alla soluzione?
Grazie
Risposte
Ciao e benvenuto!
Considera che la derivata della serie di potenza converge alla derivata della funzione a cui converge la serie di potenze.
Ossia detta $f$ la somma della serie di potenze: $f’(x)=sum_(k=0)^(+infty)d/dx f_k(x)$
Considera che la derivata della serie di potenza converge alla derivata della funzione a cui converge la serie di potenze.
Ossia detta $f$ la somma della serie di potenze: $f’(x)=sum_(k=0)^(+infty)d/dx f_k(x)$
Ciao khira92,
Mi associo al benvenuto sul forum di anto_zoolander!
E' sicuro che il testo della serie proposta sia quello? Te lo chiedo perché se a denominatore c'è $\sqrt{n} $ ovviamente $n $ non può partire da $0$...
@anto_zoolander: occhio che nella somma l'indice è $k $ poi hai scritto $f_n(x) $...
Mi associo al benvenuto sul forum di anto_zoolander!
E' sicuro che il testo della serie proposta sia quello? Te lo chiedo perché se a denominatore c'è $\sqrt{n} $ ovviamente $n $ non può partire da $0$...
@anto_zoolander: occhio che nella somma l'indice è $k $ poi hai scritto $f_n(x) $...
Grazie, modificato.
Ehm... Per maggiore aderenza con quanto scritto dall'OP e trattandosi di una serie avrei scritto $f’(x) = sum_(n=0)^(+\infty)d/dx f_n(x) $
La somma della serie proposta dall'OP però non è banale se non c'è qualche errore nel testo come ho scritto nel mio post precedente...
La somma della serie proposta dall'OP però non è banale se non c'è qualche errore nel testo come ho scritto nel mio post precedente...
Grazie mille per il benvenuto e per le risposte! Confermo che la serie da me scritta corrisponde a quella assegnata ma non riesco ancora a svolgerla poiché c'è proprio la radice di n che mi complica le cose
Considera che
$f(x)=sum_(n=1)^(+infty)1/(3^nsqrt(n))(x+3)^n => f’(x)=sum_(n=1)^(+infty)n/(3^nsqrt(n))(x+3)^(n-1)$
Dove converge la serie di potenze(qual è il raggio di convergenza)?
Il valore $x=-3$ cade nell’intervallo di convergenza? Se sì, quando vale $f’(-3)$?
Il fatto che parta $1$ anziché da $0$ non cambia nulla. Puoi tranquillamente porre
$g_n:={(f_n if n>0),( 0 if n=0) :}$
Questo non altera nulla.
$f(x)=sum_(n=1)^(+infty)1/(3^nsqrt(n))(x+3)^n => f’(x)=sum_(n=1)^(+infty)n/(3^nsqrt(n))(x+3)^(n-1)$
Dove converge la serie di potenze(qual è il raggio di convergenza)?
Il valore $x=-3$ cade nell’intervallo di convergenza? Se sì, quando vale $f’(-3)$?
Il fatto che parta $1$ anziché da $0$ non cambia nulla. Puoi tranquillamente porre
$g_n:={(f_n if n>0),( 0 if n=0) :}$
Questo non altera nulla.
Ho trovato che il raggio di convergenza è pari a 3. Il mio intervallo di convergenza sarà [-6;0[ e dunque il valore -3 cade nell'intervallo. f’(−3) sarà dunque 0 sostituendo il valore -3 al posto della x.
Giusto?
Giusto?
Il raggio di convergenza è corretto e $f’$ converge puntualmente per ogni $x in (-6,0)$ a meno che tu non abbia studiato anche la convergenza agli estremi. In ogni caso ti basta questo per affermare che $f’(-3)$ tu possa calcolarlo
Il valore che hai trovato è sbagliato: nota che l’esponente della serie derivata diventa $n-1$ quindi il primo termine è non nullo. Da questo $f’(-3)$...
Il valore che hai trovato è sbagliato: nota che l’esponente della serie derivata diventa $n-1$ quindi il primo termine è non nullo. Da questo $f’(-3)$...
"anto_zoolander":
Il raggio di convergenza è corretto e $f’$ converge puntualmente per ogni $x in (-6,0)$ a meno che tu non abbia studiato anche la convergenza agli estremi. In ogni caso ti basta questo per affermare che $f’(-3)$ tu possa calcolarlo
Il valore che hai trovato è sbagliato: nota che l’esponente della serie derivata diventa $n-1$ quindi il primo termine è non nullo. Da questo $f’(-3)$...
Grazie mille! $f’(-3)$ sarà quindi l'equazione della retta tangente in x=-3?
Quanto viene quindi? 
Nope: l’equazione della retta tangente, in generale, è $y=f’(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ per una funzione derivabile in un punto.
Nel tuo caso sarà $y=f’(-3)(x+3)+f(-3)$
Nope: l’equazione della retta tangente, in generale, è $y=f’(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ per una funzione derivabile in un punto.
Nel tuo caso sarà $y=f’(-3)(x+3)+f(-3)$
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