Serie di potenze, e sul bordo?
Determinare (se esiste) una serie di potenze con raggio di convergenza 1 tale che in $\{x+iy|x^2+y^2=1}$ l'insieme dei punti dove la serie converge è denso e lo stesso vale per il complementare.
Risposte
Non sono molto pratico di serie di potenze in campo in complesso, però $sum_(k=1)^(+oo) z^k/k$ so che converge su tutti i punti della circonferenza unitaria centrata nell'origine escluso $z=1$.
Sulla circonferenza unitaria ($X={z in CCt.c. Re^2(z)+Im^2(z)=1}$) sia $A={z in Xt.c. z!=1}$ sia $B={1}$ sono densi,no?
P.s.: c'è la non remota possibilità che io abbia detto scemenze.
Sulla circonferenza unitaria ($X={z in CCt.c. Re^2(z)+Im^2(z)=1}$) sia $A={z in Xt.c. z!=1}$ sia $B={1}$ sono densi,no?
P.s.: c'è la non remota possibilità che io abbia detto scemenze.
B non è denso sulla circonferenza unitaria. Con denso si intende che la chiusura sia tutta la circonferenza (con la topologia indotta da quella euclidea del piano). Equivalentemente per ogni punto z della circonferenza vuoi che esista una successione convergente a z di punti in cui la serie converge e un'altra sempre convergente a z di punti in cui la serie non converge.
Sì scusa pensavo che la chiusura di $B$ fosse la circonferenza, ma mi sbagliavo! Hai ragione tu, non ti so aiutare.
@piadinaro: Ma questo è un esercizio che proponi al forum o che stai cercando di risolvere anche tu? Da dove è tratto, nel caso? Sono disponibili dei suggerimenti?
Se lo proponi al forum è il caso di spostarlo in "Pensare un po' di più".
Se lo proponi al forum è il caso di spostarlo in "Pensare un po' di più".
Lo propongo al forum perché non sono capace! Va bene spostarlo. Il mio prof di analisi 2 ha affermato l'esistenza di una tale funzione ad una lezione senza specificare altro. L'avevo messo qui per quello ma in effetti sta meglio là. Quindi non ho idea della difficoltà. Per ora ho un tentativo di soluzione che non so se porta in fondo. Lo posterò comunque tra un po' di tempo
"gugo82":
Avevo scritto in proposito qui (in spoiler)...
E il thread può rimanere dov'è.
Ah ecco, bellino! Resterebbe giusto da dimostrare che \(\{z_n=\exp(i \frac{n \pi}{\sqrt{2}}), \quad n \in \mathbb{Z}\)\) è denso sulla circonferenza unitaria, fatto che io farei seguire da questo risultato dimostrato da Martino e dalla incommensurabilità di \(\pi)\) e \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Infatti per ogni \(\theta \in \mathbb{R}\) esistono successioni \(n_h, m_h\) di interi tali che
\[2\pi m_h+\frac{n_h \pi}{\sqrt{2}} \to \theta, \]
e dunque
\[e^{i \left(\frac{n_h \pi}{\sqrt{2}}\right)}=e^{i\left( 2\pi m_h + \frac{n_h \pi}{\sqrt{2}}\right)} \to e^{i \theta}.\]
Grazie Gugo.
Intanto grazie.
Però non riesco a seguire molto anche perché non ho mai aperto un libro di analisi complessa. Quando l'avrò fatto la rileggerò ma che i punti dove la serie che rappresenta questa $f$ non converge formino un denso mi sembra credibile. Da dove segue che è denso anche il complementare?
Però non riesco a seguire molto anche perché non ho mai aperto un libro di analisi complessa. Quando l'avrò fatto la rileggerò ma che i punti dove la serie che rappresenta questa $f$ non converge formino un denso mi sembra credibile. Da dove segue che è denso anche il complementare?
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