Serie di potenze e raggio di convergenza
Ciao a tutti.
Sto studiando la seguente serie di potenze
$\sum_{k=1}^oo (3^n+(-5)^n)/n(x+1/3)^n$
Con il criterio del rapporto ho trovato il raggio di convergenza che è $1/5$.
La serie quindi per $|x+1/3|<1/5$ converge.
Ora dovrei studiare cosa accade agli estremi per $-8/15
$\sum_{k=1}^oo (3^n+(-5)^n)/n(-8/15+1/3)^n=\sum_{k=1}^oo (3^n+(-5)^n)/n(-3/15)^n$
Spezzo la sommatoria
$\sum_{k=1}^oo (3^n(-3)^n)/(n(-15)^n)+((-5)^n(-3)^n)/(n(-15)^n)$
Però sono bloccata e non so come stabilire se la serie converge oppure no. Potete darmi una mano?
Sto studiando la seguente serie di potenze
$\sum_{k=1}^oo (3^n+(-5)^n)/n(x+1/3)^n$
Con il criterio del rapporto ho trovato il raggio di convergenza che è $1/5$.
La serie quindi per $|x+1/3|<1/5$ converge.
Ora dovrei studiare cosa accade agli estremi per $-8/15
$\sum_{k=1}^oo (3^n+(-5)^n)/n(-8/15+1/3)^n=\sum_{k=1}^oo (3^n+(-5)^n)/n(-3/15)^n$
Spezzo la sommatoria
$\sum_{k=1}^oo (3^n(-3)^n)/(n(-15)^n)+((-5)^n(-3)^n)/(n(-15)^n)$
Però sono bloccata e non so come stabilire se la serie converge oppure no. Potete darmi una mano?
Risposte
Io direi che
[tex]$\frac{3^n+(-5)^n}{n}\cdot\left(-\frac{3}{15}\right)^n=\frac{3^n+(-5)^n}{n}\cdot\frac{1}{(-5)^n}=\frac{1}{n}\left[\left(-\frac{3}{5}\right)^n+1\right]$[/tex]
che risultano tutti positivi. A questo punto puoi usare un qualsiasi criterio per le serie numeriche a termini positivi. Analogamente con l'altro estremo.
[tex]$\frac{3^n+(-5)^n}{n}\cdot\left(-\frac{3}{15}\right)^n=\frac{3^n+(-5)^n}{n}\cdot\frac{1}{(-5)^n}=\frac{1}{n}\left[\left(-\frac{3}{5}\right)^n+1\right]$[/tex]
che risultano tutti positivi. A questo punto puoi usare un qualsiasi criterio per le serie numeriche a termini positivi. Analogamente con l'altro estremo.
"ciampax":
Io direi che
[tex]$\frac{3^n+(-5)^n}{n}\cdot\left(-\frac{3}{15}\right)^n=\frac{3^n+(-5)^n}{n}\cdot\frac{1}{(-5)^n}=\frac{1}{n}\left[\left(-\frac{3}{5}\right)^n+1\right]$[/tex]
che risultano tutti positivi. A questo punto puoi usare un qualsiasi criterio per le serie numeriche a termini positivi. Analogamente con l'altro estremo.
Ah ecco.. grazie.. non ho capito un passaggio pero'..
Nell'ultimo passaggio metti in evidenza $1/n$ ma da dove spunta il $-5$ al denominatore di $1/n[(-3/5)^n+1]$
Moltiplicando il $(-5)^n$ a denominatore rispettivamente con $3^n$ e $(-5)^n$. Proprietà associativa della moltiplicazione.
ah ok.. erroraccio mio..
Dubbio per questo altro esercizio
$\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(x+1/5)^n$
Devo studiare cosa accade agli estremi per $-2/5
$\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(-2/5+1/5)^n=\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(-1/5)^n$
$\sum_{k=1}^oo (1/n(-1)^n)+\sum_{k=1}^oo 1/n(3/5)^n$ Questa converge perchè per il criterio di leibniz $(-1)^n$ converge, giusto? e l'altra parte?
Però non ho capito perchè nel seguente punto non dovrebbe convergere
$\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(0+1/5)^n=\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(1/5)^n$
$\sum_{k=1}^oo (1/n(1)^n)+\sum_{k=1}^oo 1/n(-3/5)^n
Il primo pezzo della sommatoria non vale sempre 1?
$\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(x+1/5)^n$
Devo studiare cosa accade agli estremi per $-2/5
$\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(-2/5+1/5)^n=\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(-1/5)^n$
$\sum_{k=1}^oo (1/n(-1)^n)+\sum_{k=1}^oo 1/n(3/5)^n$ Questa converge perchè per il criterio di leibniz $(-1)^n$ converge, giusto? e l'altra parte?
Però non ho capito perchè nel seguente punto non dovrebbe convergere
$\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(0+1/5)^n=\sum_{k=1}^oo (5^n+(-3)^n)/n(1/5)^n$
$\sum_{k=1}^oo (1/n(1)^n)+\sum_{k=1}^oo 1/n(-3/5)^n
Il primo pezzo della sommatoria non vale sempre 1?
Le sto studiando in questi giorni quindi prendi con le pinze quello che ti dico 
Ma se non erro non converge perchè $1/n$ è una seria armonica che, teoria alla mano, non converge mai
Ma se non erro non converge perchè $1/n$ è una seria armonica che, teoria alla mano, non converge mai
@pol20: Non sarebbe meglio chiarirsi le idee prima di dare consigli agli altri?
@Licia9: La serie:
[tex]$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{5^n+(-3)^n}{n}\ \left( \frac{1}{5}\right)^n$[/tex]
non converge: infatti il termine generale ha:
[tex]$\lim_n \frac{5^n+(-3)^n}{n}\ \left( \frac{1}{5}\right)^n\ n =\lim_n \frac{5^n+(-3)^n}{5^n} =1$[/tex],
quindi [tex]$\tfrac{5^n+(-3)^n}{n}\ \left( \tfrac{1}{5}\right)^n \approx \tfrac{1}{n}$[/tex] e, per il criterio del confronto asintotico, la tua serie non converge (perchè non converge la serie armonica).
@Licia9: La serie:
[tex]$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{5^n+(-3)^n}{n}\ \left( \frac{1}{5}\right)^n$[/tex]
non converge: infatti il termine generale ha:
[tex]$\lim_n \frac{5^n+(-3)^n}{n}\ \left( \frac{1}{5}\right)^n\ n =\lim_n \frac{5^n+(-3)^n}{5^n} =1$[/tex],
quindi [tex]$\tfrac{5^n+(-3)^n}{n}\ \left( \tfrac{1}{5}\right)^n \approx \tfrac{1}{n}$[/tex] e, per il criterio del confronto asintotico, la tua serie non converge (perchè non converge la serie armonica).
come dice pol20, la prima sommatoria è un armonica e diverge.
il perchè della divergenza (detto in parole mooooolto povere perchè sono uno studente) è piuttosto evidente se consideri la sommatoria come se fosse la sommatoria degli integrali definiti della stessa seria...in questo modo sarebbe come calcolare l'area descritta dal grafico di quella serie,sei d'accordo?
se sei d'accordo con me ora basta notare che l'integrale di 1/n è un logaritmo, che all'infinito va all'infinito.
per quanto riguarda la seconda parte quella è una serie a segni alterni e converge per il criterio di leibnitz che richiede il termine 1/n decrescente e che il suo limite per n che tende all'infinito sia zero.
la somma di due serie di cui una cinvergente e una divergente diverge. spero di essere stato chiaro e non aver scritto boiate.
il perchè della divergenza (detto in parole mooooolto povere perchè sono uno studente) è piuttosto evidente se consideri la sommatoria come se fosse la sommatoria degli integrali definiti della stessa seria...in questo modo sarebbe come calcolare l'area descritta dal grafico di quella serie,sei d'accordo?
se sei d'accordo con me ora basta notare che l'integrale di 1/n è un logaritmo, che all'infinito va all'infinito.
per quanto riguarda la seconda parte quella è una serie a segni alterni e converge per il criterio di leibnitz che richiede il termine 1/n decrescente e che il suo limite per n che tende all'infinito sia zero.
la somma di due serie di cui una cinvergente e una divergente diverge. spero di essere stato chiaro e non aver scritto boiate.
Ho capito, grazie mille gugo82
edit:anche a te squall
edit:anche a te squall
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