Serie di Potenze e la sua Derivata
Sia $f$ definita da:
$f(x)=sum_{n=0}^(+oo) (n+1)x^n$
stabilire la convergenza di essa e si calcoli $f'(0)$
Stabilito che esso è:
$f(x)=sum_{n=0}^(+oo) (C_n)x^n$ con C_n = Successione [No Cerchio di Convergenza]
trovare $lim_(n->+oo) root(n)|(n+1)|$ che equivale a $lim_(n->+oo) |n+1|/(|n+1+1|)$ ----> $lim_(n->+oo) |C_n|/(|C_n+1|)$.
Il limite tende a $1$, a $L$ quindi.
$R$=Raggio di Convergenza, equivale a $1/(lim_(n->+oo) root(n)|(n+1)|)$ e vedremo che il risultato è sempre $1$, per cui per $|x|<1$ è convergente.
La Derivata della Serie $(a_n)x^n$ è $n(a_n)x^(n-1)$ con $a_n=n+1$ e.. poi?
Che devo fare?
Il risultato è $f'(0)=2$ ma non mi torna.
EDIT--- Ricorretto sotto le indicazioni di Mathematico e Regim
$f(x)=sum_{n=0}^(+oo) (n+1)x^n$
stabilire la convergenza di essa e si calcoli $f'(0)$
Stabilito che esso è:
$f(x)=sum_{n=0}^(+oo) (C_n)x^n$ con C_n = Successione [No Cerchio di Convergenza]
trovare $lim_(n->+oo) root(n)|(n+1)|$ che equivale a $lim_(n->+oo) |n+1|/(|n+1+1|)$ ----> $lim_(n->+oo) |C_n|/(|C_n+1|)$.
Il limite tende a $1$, a $L$ quindi.
$R$=Raggio di Convergenza, equivale a $1/(lim_(n->+oo) root(n)|(n+1)|)$ e vedremo che il risultato è sempre $1$, per cui per $|x|<1$ è convergente.
La Derivata della Serie $(a_n)x^n$ è $n(a_n)x^(n-1)$ con $a_n=n+1$ e.. poi?
Che devo fare?
Il risultato è $f'(0)=2$ ma non mi torna.
EDIT--- Ricorretto sotto le indicazioni di Mathematico e Regim
Risposte
"Marcomix":
Sia $f$ definita da:
$f(x)=sum_{n=0}^(+oo) (n+1)x^n$
stabilire la convergenza di essa e si calcoli $f'(0)$
Stabilito che esso è:
$f(x)=sum_{n=0}^(+oo) (C_n)x^n$ con C_n = Cerchio di Convergenza (Il cerchio di convergenza è in realtà un cerchio nel piano complesso, di centro [tex](0,0)[/tex]e raggio [tex]\rho[/tex], dove [tex]\rho[/tex] rappresenta il raggio di convergenza. I valori interni al cerchio di convergenza fanno sì che la serie converga, in questo caso penso che [tex]C_n[/tex] non sia altro che una successione)
trovare $lim_(n->+oo) root(n)|(n+1)|$ che equivale a $lim_(n->+oo) |n+1|/(|n+1+1|)$ ----> $lim_(n->+oo) |C_n|/(|C_n+1|)$.
Il limite tende a $1$, a $L$ quindi.
$R$=Raggio di Convergenza, equivale a $1/(lim_(n->+oo) root(n)|(n+1)|)$ e vedremo che il risultato è sempre $1$, per cui per $|x|<1$ è convergente.
La Derivata della Serie $(a_n)x^n$ è $n(a_n)x^(n-1)$ con $a_n=n+1$ e.. poi?
Che devo fare?
Il risultato è $f'(0)=2$ ma non mi torna.
Beh devi considerare [tex]$\sum_{n=0}^\infty n (n+1)x^{n-1}[/tex], esiste un teorema che ti assicura che questa serie ha lo stesso raggio di convergenza dell'originale, quindi converge per [tex]|x|<1[/tex]. Nota ora che per n=0 [tex]n (n+1)x^{n-1}=0[/tex] dunque la serie può essere riscritta come:
[tex]$\sum_{n=1}^\infty n (n+1)x^{n-1}[/tex].
Per [tex]x=0[/tex] che cosa succede?
Nel titolo in oggetto si dovrebbe parlare di derivata di una funzione, non di derivabile di una funzione.
Esprimi una equivalenza che può esistere in generale solo come coincidenza, ma non è dimostrabile, anzi, si dimostra proprio una disuguaglianza tra i due limiti, non stretta, ma comunque non una uguaglianza. Se fai la derivata delle funzioni della serie, il primo termine vale proprio $2$ il resto calcolato in $0$ vale zero.
Esprimi una equivalenza che può esistere in generale solo come coincidenza, ma non è dimostrabile, anzi, si dimostra proprio una disuguaglianza tra i due limiti, non stretta, ma comunque non una uguaglianza. Se fai la derivata delle funzioni della serie, il primo termine vale proprio $2$ il resto calcolato in $0$ vale zero.
scusate, qui vedo che non ho capito, questa $x$ cosa rappresenta? $x=0$ significa di ordine $0$? o è un numero qualsiasi? Nel caso che sia un numero qualsiasi, se è $0$, la derivata risulta $0$!
Nel caso sia un ordine, allora $f'(x)=2$
???!
Nel caso sia un ordine, allora $f'(x)=2$
???!
$x$ rappresenta la variabile indipendente, $x=0$ vuol dire che la variabile $x$ assume il valore zero così come si poteva assegnargli un numero qualsiasi.
Ma non c'entra nulla l'ordine, qui si parla di calcolare la derivata della somma di una serie di potenze in punto particolare, nell'origine, e dal momento che puoi ottenere la derivata della somma(funzione somma della serie di partenza) come la serie delle derivate delle funzioni della serie di partenza, allora, basta che sostituisci a $x$ l'ascissa dell'origine, calcolare la somma dell'ultima serie ottenuta facendo le derivate, e ottenere con questa sostituzione la derivata nell'origine della funzione somma della serie data all'inizio.
Ma non c'entra nulla l'ordine, qui si parla di calcolare la derivata della somma di una serie di potenze in punto particolare, nell'origine, e dal momento che puoi ottenere la derivata della somma(funzione somma della serie di partenza) come la serie delle derivate delle funzioni della serie di partenza, allora, basta che sostituisci a $x$ l'ascissa dell'origine, calcolare la somma dell'ultima serie ottenuta facendo le derivate, e ottenere con questa sostituzione la derivata nell'origine della funzione somma della serie data all'inizio.
bene, ora ho compreso.. nel caso in cui $n=1$, la derivata è $2$ e in altri casi è sempre $0$, per cui, la soluzione è sempre un valore differente da zero?
Nell'origine si, la derivata è $2$ perchè il primo termine della serie che ottieni facendo le derivate della serie di partenza termine per termine, è una funzione costante e vale 2 ovunque, in particolare nell'origine, gli altri termini non valgono sempre zero, solo nell'origine valgono zero.
ok, ma se io determino lo stesso procedimento per quest'altra:
$f(x)=sum_{n=1}^(+oo) x^n/(n2^n)$
trovo che $|x|<2$ converge
e che la derivata di essa è:
$nx^(n-1)/(n2^n)$ e quindi $x^(n-1)/(2^n)$
il testo mi riferisce che devo sostituire $x$ a $1/2$
Per $n=1$ trovo che $f'(1/2)=1/2$
invece la soluzione $f'(1/2)=2/3$
$f(x)=sum_{n=1}^(+oo) x^n/(n2^n)$
trovo che $|x|<2$ converge
e che la derivata di essa è:
$nx^(n-1)/(n2^n)$ e quindi $x^(n-1)/(2^n)$
il testo mi riferisce che devo sostituire $x$ a $1/2$
Per $n=1$ trovo che $f'(1/2)=1/2$
invece la soluzione $f'(1/2)=2/3$
Questo perchè hai una serie geometrica, di cui è facilmente calcolabile la somma, anche se non hai tutti i termini nulli come prima.
Quest'ultima è differente perchè devi usare la serie geometrica per sommare...
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (x^n)/(n 2^n)$
quindi
$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (x^(n-1))/(2^n) = 1/2 \sum_{m=0}^{\infty} (x/2)^m = 1/2 1/(1-x/2)$ (*)
e l'ultimo passaggio è possibile solo se $x/2<1$, quindi
$f'(1/2) = 1/2 1/(1-1/4) = 1/2 4/3 = 2/3$
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (x^n)/(n 2^n)$
quindi
$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (x^(n-1))/(2^n) = 1/2 \sum_{m=0}^{\infty} (x/2)^m = 1/2 1/(1-x/2)$ (*)
e l'ultimo passaggio è possibile solo se $x/2<1$, quindi
$f'(1/2) = 1/2 1/(1-1/4) = 1/2 4/3 = 2/3$
non ho capito il passaggio $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (x^(n-1))/(2^n)$ a $1/2 \sum_{m=0}^{\infty} (x/2)^m$
Ponendo $m=n-1$...
ok, grazie mille! ultima cosa, mi stavo domandando se adesso abbiamo fatto con la serie geometrica, perchè la serie aveva l'aspetto di una serie geometrica, o per altro!?
Questa è una domanda che viene fuori, perchè non avrei mai pensato di concludere cosi, diciamo che non l'avrei mai vista cosi!
Questa è una domanda che viene fuori, perchè non avrei mai pensato di concludere cosi, diciamo che non l'avrei mai vista cosi!
Hai centrato il punto, al 99,99999..% la somma non la riesci a calcolare mediante una funzione nota, magari utilizzando le semplici operazioni aritmetiche come nel caso delle serie geometriche. Ma se ci rifletti, in realtà, anche le funzioni cosiddette note non lo sono affatto, sono solo delle funzioni di cui è stato studiato in dettaglio l'andamento, di cui esistono tabelle per il loro calcolo, oppure metodi automatici di calcolo per ottenerne un valore necessariamente approssimato, esistono anche altre funzioni note ai matematici che però, spesso, i più non le riconoscono come tali, la funzione zeta di Riemann di cui per altro vi sono ancora degli aspetti per nulla affatto risolti, la congettura di Riemann ad esempio, e poi ci sono altre, quelle di bessel, la funzione gamma...
Le serie sono importanti perchè quando ne hai riconosciuta la convergenza, hai a disposizione un modo per conoscere il valore della funzione somma in un punto, semplicemente effettuando delle semplici somme aritmetiche, perchè è noto che la somma resto all'aumentare di $N$ tende a zero. Le funzioni continue per esempio, in un intervallo ove vi è necessità di una consocenza più approfondita, possono essere approssimate tutte con una serie di polinomi(Teorema di Stone-Weiestrass) e le funzioni continue in fisica hanno una notevole importanza.
Quindi per rispondere alla tua domanda, si, in effetti è un "caso" che quella serie è geometrica, di cui la somma fortunamente è nota ed esprimibile mediante una funzione razionale.
Le serie sono importanti perchè quando ne hai riconosciuta la convergenza, hai a disposizione un modo per conoscere il valore della funzione somma in un punto, semplicemente effettuando delle semplici somme aritmetiche, perchè è noto che la somma resto all'aumentare di $N$ tende a zero. Le funzioni continue per esempio, in un intervallo ove vi è necessità di una consocenza più approfondita, possono essere approssimate tutte con una serie di polinomi(Teorema di Stone-Weiestrass) e le funzioni continue in fisica hanno una notevole importanza.
Quindi per rispondere alla tua domanda, si, in effetti è un "caso" che quella serie è geometrica, di cui la somma fortunamente è nota ed esprimibile mediante una funzione razionale.
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