Serie di potenze e forme differenziali
Salve, mi trovo a dover studiare insieme di convergenza, convergenza uniforme e somma della seguente serie:
$\sum _0 ((-1)^n \cdot 3^(n+1) (sinx) ^ (n+1)) / ( n+1)$
La seguente serie può essere ricondotta ad una serie di potenze? eventualmente come? Posso scrivere $ (sinx)^(n+1)$ come $(sinx)^n (sinx)$ e portare $sinx$ fuori dalla sommatoria e studiare la serie risultante? se si perchè?
In più ho da calcolare l'integrale curvilineo esteso alla curva $\phi _t = (cost , sin t) , t \in ( 0, \pi/4 )$
$ (y^2/ x ) - (y/(x^2+y^2)) dx +( 2y log x + (x/ (x^2 + y^2))) dy $
La funzione non è definita lungo gli assi, tuttavia il punto iniziale 0 si trova lungo l'asse x , posso utilizzare la differenza delle primitive?
Se si perchè?
Grazie
$\sum _0 ((-1)^n \cdot 3^(n+1) (sinx) ^ (n+1)) / ( n+1)$
La seguente serie può essere ricondotta ad una serie di potenze? eventualmente come? Posso scrivere $ (sinx)^(n+1)$ come $(sinx)^n (sinx)$ e portare $sinx$ fuori dalla sommatoria e studiare la serie risultante? se si perchè?
In più ho da calcolare l'integrale curvilineo esteso alla curva $\phi _t = (cost , sin t) , t \in ( 0, \pi/4 )$
$ (y^2/ x ) - (y/(x^2+y^2)) dx +( 2y log x + (x/ (x^2 + y^2))) dy $
La funzione non è definita lungo gli assi, tuttavia il punto iniziale 0 si trova lungo l'asse x , posso utilizzare la differenza delle primitive?
Se si perchè?
Grazie
Risposte
Ti rispondo per quanto riguarda la serie.
Se la riscriviamo come $ \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} \frac{(3 sin x)^{n+1}}{n+1} $ e poi poniamo $ t=n+1 $ e $y=3 sin x $, otteniamo la serie $ \sum_{t=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{t-1}}{t} y^{t} $, che possiamo trattare come serie di potenze.
Se la riscriviamo come $ \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} \frac{(3 sin x)^{n+1}}{n+1} $ e poi poniamo $ t=n+1 $ e $y=3 sin x $, otteniamo la serie $ \sum_{t=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{t-1}}{t} y^{t} $, che possiamo trattare come serie di potenze.
Grazie!
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