Serie di potenze e derivabilità termine a termine
Dalle sbobinature il prof cerca di mostrare tramite il classico esempio della Serie geometrica che la Serie delle derivate conserva lo stesso raggio ( $ rho =1 $ ).
Quello che non mi torna è l'affermazione per cui:
"visto che questa particolare serie di potenze converge ad una somma esplicita $1/(1-x)$ con una convergenza "Uniforme"
possiamo derivare termine a termine la suddetta serie ".
Ora , il teorema generale sulla derivabilità termine a termine delle serie di funzioni prevede che siano verificate le condizioni secondo cui:
1. i termini $f_n$ della serie devono essere derivabili nei punti interni di un intervallo $[a,b]$
2. la serie di funzioni deve convergere puntualmente
3. la serie delle derivate prime deve convergere uniformemente
Quindi mi chiedo :
ma invece di dover verificare le condizioni 2 e 3 , posso semplicemente verificare la convergenza uniforme di una serie di funzioni per poterla "derivare termine a termine" ?
Quello che non mi torna è l'affermazione per cui:
"visto che questa particolare serie di potenze converge ad una somma esplicita $1/(1-x)$ con una convergenza "Uniforme"
possiamo derivare termine a termine la suddetta serie ".
Ora , il teorema generale sulla derivabilità termine a termine delle serie di funzioni prevede che siano verificate le condizioni secondo cui:
1. i termini $f_n$ della serie devono essere derivabili nei punti interni di un intervallo $[a,b]$
2. la serie di funzioni deve convergere puntualmente
3. la serie delle derivate prime deve convergere uniformemente
Quindi mi chiedo :
ma invece di dover verificare le condizioni 2 e 3 , posso semplicemente verificare la convergenza uniforme di una serie di funzioni per poterla "derivare termine a termine" ?
Risposte
Ciao!
Nel finito sicuramente ha senso, ossia la derivata di una somma parziale coincide con la somma parziale delle derivate.
Il problema è che nel passaggio al limite hai bisogno di qualche ipotesi in più per scambiare l’operazione di limite(delle somme parziali) con l’operatore di derivata.
Nel finito sicuramente ha senso, ossia la derivata di una somma parziale coincide con la somma parziale delle derivate.
Il problema è che nel passaggio al limite hai bisogno di qualche ipotesi in più per scambiare l’operazione di limite(delle somme parziali) con l’operatore di derivata.
Si , il dubbio è che: per come ne ha parlato il prof , quello che si lascia intendere è che " queste ipotesi da richiedere le posso incorporare in 1 sola condizione " ovvero la convergenza uniforme della Serie di funzioni .
Questo mi porterebbe a poter derivare termine a termine tutte le serie di funzioni per cui è verificata questa ipotesi.
Il problema è che nel teorema generale le ipotesi sono altre.
Questo mi porterebbe a poter derivare termine a termine tutte le serie di funzioni per cui è verificata questa ipotesi.
Il problema è che nel teorema generale le ipotesi sono altre.
Ti faccio una domanda:
Nella serie di potenze $s_n(x)=sum_(k=0)^(n)a_k(x-c)^k$ le prime due ipotesi sono rispettate?
Ossia: ${s_n}_(n inNN)$ converge in almeno punto? è derivabile per ogni $n inNN$?
Nella serie di potenze $s_n(x)=sum_(k=0)^(n)a_k(x-c)^k$ le prime due ipotesi sono rispettate?
Ossia: ${s_n}_(n inNN)$ converge in almeno punto? è derivabile per ogni $n inNN$?
"pepp1995":
ma invece di dover verificare le condizioni 2 e 3 , posso semplicemente verificare la convergenza uniforme di una serie di funzioni per poterla "derivare termine a termine" ?
No. Vale solo per le serie di potenze, e solo nell'interno del disco di convergenza. (suppongo sia lo stesso che dice anto).
"anto_zoolander":
Ti faccio una domanda:
Nella serie di potenze $s_n(x)=sum_(k=0)^(n)a_k(x-c)^k$ le prime due ipotesi sono rispettate?
Ossia: ${s_n}_(n inNN)$ converge in almeno punto? è derivabile per ogni $n inNN$?
1) Converge puntualmente nell'intervallo aperto $(-1,1)$
2) $s_n(x)=sum_(k=0)^(n)a_k(x-c)^k$ è il termine n-simo della successione delle somme parziali e rappresenta un polinomio di grado n-simo. Le funzioni polinomiali sono R-derivabili. Quindi $s_n(x)$ è derivabile.
"dissonance":
[quote="pepp1995"]
ma invece di dover verificare le condizioni 2 e 3 , posso semplicemente verificare la convergenza uniforme di una serie di funzioni per poterla "derivare termine a termine" ?
No. Vale solo per le serie di potenze, e solo nell'interno del disco di convergenza. (suppongo sia lo stesso che dice anto).[/quote]
Per poterlo affermare dovrei premettere il teorema per cui : "il raggio di convergenza di una serie di potenze e della serie delle derivate prime è lo stesso " .
In questo caso però la logica dell'esempio è volta proprio a mostrare che il raggio di convergenza è lo stesso.
Quindi, considerando che l'esempio è stato fatto PRIMA dell'introduzione del teorema, non riesco a capire come fa ad essere lecita la derivazione termine termine di una serie di potenze nell'intervallo di convergenza .
Se ragioni bene vedrai che non c'è contraddizione. Sia \(R\) il raggio di convergenza, dato dal limsup che sai. Nell'intervallo \((-R, R)\) converge tutto; sia \(\sum a_n x^n\) sia \(\sum na_n x^{n-1}\). Il teorema di derivazione della serie generica \(\sum f_n(x)\) dice che, se la serie converge uniformemente in un intervallo \(I\), e se la serie delle derivate \(\sum f_n'(x)\) converge in un punto \(x_0\), allora tutto va come deve andare; si può derivare termine a termine e \((\sum f_n(x_0))'=\sum f_n'(x_0)\). Ed è questo il caso delle serie di potenze; se \(x_0\in (-R, R)\), la serie di potenze converge uniformemente su qualsiasi intervallo \([-R+\delta, R-\delta]\) e pure la serie delle derivate fa lo stesso, perciò in particolare converge in \(x_0\) e tutto fila lisco.
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Incidentalmente, questo è un caso in cui è più semplice integrare che derivare. Se una serie di funzioni converge uniformemente essa si può integrare termine a termine, senza se e senza ma (qui mi accodo alla moda di citare Gino Strada completamente fuori contesto
). In particolare,
\[
\int_0^x \sum na_n y^{n-1}\, dy = \sum \int_0^x n a_n y^{n-1}\, dy = \sum a_n x^n.\]
Da cui discende subito che la derivata di \(\sum a_n x^n\) è \(\sum na_n x^{n-1}\), come volevasi dimostrare. MOLTO più elegante.
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Incidentalmente, questo è un caso in cui è più semplice integrare che derivare. Se una serie di funzioni converge uniformemente essa si può integrare termine a termine, senza se e senza ma (qui mi accodo alla moda di citare Gino Strada completamente fuori contesto
). In particolare, \[
\int_0^x \sum na_n y^{n-1}\, dy = \sum \int_0^x n a_n y^{n-1}\, dy = \sum a_n x^n.\]
Da cui discende subito che la derivata di \(\sum a_n x^n\) è \(\sum na_n x^{n-1}\), come volevasi dimostrare. MOLTO più elegante.
" Il teorema di derivazione della serie generica $∑fn(x)$ dice che, se la serie converge uniformemente in un intervallo $I$, e se la serie delle derivate $∑f′n(x)$ converge in un punto $x0$ "
Non dovrei richiedere
-la convergenza puntuale della serie $∑fn(x)$
-la convergenza uniforme della serie $∑f′n(x)$
?
Non dovrei richiedere
-la convergenza puntuale della serie $∑fn(x)$
-la convergenza uniforme della serie $∑f′n(x)$
?
Se la serie delle derivate converge uniformemente in \((-R+\delta, R-\delta)\), allora essa converge pure puntualmente in tutti i punti di \((-R+\delta, R-\delta)\). Questo è davvero ovvio.
Si , ma non vale il viceversa.
E la richiesta del teorema è la convergenza uniforme della serie delle derivate , non la convergenza puntuale.
E la richiesta del teorema è la convergenza uniforme della serie delle derivate , non la convergenza puntuale.
Beh senti non lo so cosa stai cercando di fare. Se vuoi dimostrare che le serie di potenze si possono derivare termine a termine, ho già scritto il mio punto di vista. Adesso non riesco proprio a seguirti, con questa tua ultima obiezione.
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