Serie di potenze, dubbio su Abel
Ciao,
ho un dubbio sulla uniforme continuità per le serie di potenze, con raggio finito > 0.
Il teorema di Abel mostra che se c'è convergenza in un estremo dell'intervallo di convergenza assoluta, allora c'è convergenza uniforme fino all'estremo, estremo incluso.
Nel caso non ci fosse convergenza in quell'estremo, rimarremmo con la sola tesi del teorema del raggio, ovvero che la convergenza totale è ben contenuta nell'intervallo di convergenza assoluta.
Il mio dubbio proprio questo caso, ovvero dopo che ho verificato che in un estremo non c'è convergenza, cosa succede alla convergenza uniforme?
Fino a ,delta + k] ho convergenza totale, ma in ]delta + k, delta[ cosa succede?
Le ipotesi che mi sono prospettato sono: o devo fregarmene e finisce così, nel senso che dato un x
Grazie
ho un dubbio sulla uniforme continuità per le serie di potenze, con raggio finito > 0.
Il teorema di Abel mostra che se c'è convergenza in un estremo dell'intervallo di convergenza assoluta, allora c'è convergenza uniforme fino all'estremo, estremo incluso.
Nel caso non ci fosse convergenza in quell'estremo, rimarremmo con la sola tesi del teorema del raggio, ovvero che la convergenza totale è ben contenuta nell'intervallo di convergenza assoluta.
Il mio dubbio proprio questo caso, ovvero dopo che ho verificato che in un estremo non c'è convergenza, cosa succede alla convergenza uniforme?
Fino a ,delta + k] ho convergenza totale, ma in ]delta + k, delta[ cosa succede?
Le ipotesi che mi sono prospettato sono: o devo fregarmene e finisce così, nel senso che dato un x
Grazie
Risposte
Non ho mai studiato a fondo questo criterio, ma non credo sia troppo dissimile da quello di Cauchy-Hadamard. Se conosci il raggio \(\displaystyle R \) di convergenza di una serie di potenze puoi dire che essa converge uniformemente su ogni insieme \(\displaystyle A_{\delta}=\{ z \in \mathbb{C} : |z|< \delta\} \), con \(\displaystyle \delta < R \). Se la serie non converge quando \(\displaystyle |z|=R \) amen; hai convergenza uniforme su tutto il disco meno che il bordo, così come per Abel avresti convergenza uniforme lungo il segmento (di lunghezza \(\displaystyle R \)?) ma non nell'estremo (ma non sono totalmente sicuro di quanto ho profuso nell'ultima sentenza).
Veramente la questione del boundary behaviour per le serie di potenze è molto delicata ed il teorema di Abel nel campo complesso si estende in maniera un attimino più complicata rispetto allo stesso teorema riguardato nel campo reale.
Limitandoci a serie di potenze in $RR$ sai che la convergenza è uniforme su compatti contenuti nell'intervallo di convergenza aperto $(-r, r)$; se non hai convergenza nell'estremo, non serve indagare oltre... Se invece hai convergenza nell'estremo $r$, la funzione converge uniformemente su $[0, r]$, quindi la serie di potenze rappresenta ivi una funzione continua e $lim_(x -> r^-) sum_(n=0)^(+oo) a_n x^n = sum_(n=0)^(+oo) a_n r^n$ .
La convergenza uniforme è garantita in ogni disco chiuso contenuto nel disco di convergenza.
Limitandoci a serie di potenze in $RR$ sai che la convergenza è uniforme su compatti contenuti nell'intervallo di convergenza aperto $(-r, r)$; se non hai convergenza nell'estremo, non serve indagare oltre... Se invece hai convergenza nell'estremo $r$, la funzione converge uniformemente su $[0, r]$, quindi la serie di potenze rappresenta ivi una funzione continua e $lim_(x -> r^-) sum_(n=0)^(+oo) a_n x^n = sum_(n=0)^(+oo) a_n r^n$ .
"Delirium":
Se la serie non converge quando \(\displaystyle |z|=R \) amen; hai convergenza uniforme su tutto il disco meno che il bordo
La convergenza uniforme è garantita in ogni disco chiuso contenuto nel disco di convergenza.
Sì ecco, ascolta Seneca che ne sa senz'altro più di me in merito.
Comunque è vero, il "giusto" ambiente per trattare le serie di potenze è $CC$. Per chi fosse interessato all'argomento, ho appena aperto questo topic... Bel risultato, eh?
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