Serie di potenze (dimostrazione)

[poncelet]

Sto studiando la dimostrazione del seguente:

Teorema:

Consideriamo

$f(z)=sum_(0)^(+oo)a_n(z-z_0)^n$,

dove la serie di potenze ha raggio di convergenza $R>0$.
Abbiamo allora che
1) la serie

$sum_(1)^(+oo)na_n(z-z_0)^(n-1)$

ha raggio di convergenza uguale a $R$;

2) la funzione $f$ è derivabile in $B(z_0;R)$ con

$f'(z)=sum_(1)^(+oo)na_n(z-z_0)^(n-1)$

Mi interessa in particolare la dimostrazione del punto 1):

Voglio provare che la serie $sum_(1)^(+oo)na_n(z-z_0)^(n-1)$ converge totalmente in $\bar{B}(z_0;r)$ per ogni $0<=r
Considerato un qualunque $s$ tale che $r $lim_(n->+oo)n(r/s)^(n-1)=0$

Dunque esiste $n_0$ tale che

$n(r/s)^(n-1)<=1$ $\forall n>=n_0$

Ma allora

$sum_(n=n_0)^(+oo)n|a_n|r^(n-1)=sum_(n=n_0)^(+oo)|a_n|n(r/s)^(n-1)s^(n-1)<=sum_(n=n_0)^(+oo)|a_n|s^(n-1)=s^-1sum_(n=n_0)^(+oo)|a_n|s^n<+oo$

A questo punto le dispense dicono che, chiamando $R'$ il raggio di convergenza della serie

$sum_(1)^(+oo)na_n(z-z_0)^(n-1)$

abbiamo che $R'>=R$. Mi sfugge questa deduzione, qualcuno mi saprebbe aiutare a capire?

[gugo82]

La tua serie derivata converge per tutti gli [tex]$r\leq R$[/tex], cosicché risulta:

[tex]$\left\{ r>0:\ \sum_{n=1}^{+\infty} |a_n|r^n <+\infty \right\} \subseteq \left\{ r>0:\ \sum_{n=1}^{+\infty} n|a_n|r^{n-1} <+\infty \right\}$[/tex]

ricordata la definizione di raggio di convergenza:

[tex]$R^\prime :=\sup \left\{ r>0:\ \sum_{n=1}^{+\infty} n|a_n|r^{n-1} <+\infty \right\} \geq \sup \left\{ r>0:\ \sum_{n=1}^{+\infty} |a_n|r^n <+\infty \right\} =:R$[/tex],

che era quanto ti serviva.

[poncelet]

Grazie Gugo.