Serie di potenze delle funzioni di Bessel
Ciao a tutti,
vi risulta che la serie di potenze delle funzioni di Bessel di prima specie
[tex]$J_n(x) = \sum_{k\geq0} \frac{(-1)^k}{k! (k+n)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k+n}$[/tex]
converga per ogni valore di [tex]x[/tex]??
A naso la cosa non mi convince però mi sono calcolato il
[tex]$\lim_{k\rightarrow \infty} |a_k|^{\frac{1}{k}}$[/tex]
e mi viene proprio [tex]0[/tex].
Qualche commento? Grazie in anticipo...
vi risulta che la serie di potenze delle funzioni di Bessel di prima specie
[tex]$J_n(x) = \sum_{k\geq0} \frac{(-1)^k}{k! (k+n)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k+n}$[/tex]
converga per ogni valore di [tex]x[/tex]??
A naso la cosa non mi convince però mi sono calcolato il
[tex]$\lim_{k\rightarrow \infty} |a_k|^{\frac{1}{k}}$[/tex]
e mi viene proprio [tex]0[/tex].
Qualche commento? Grazie in anticipo...
Risposte
Per [tex]$n\geq 0$[/tex] le funzioni di Bessel sono intere in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], quindi non ci trovo nulla di strano nel tuo risultato.
Che la serie di Taylor converga ovunque lo dimostri velocemente col criterio del rapporto.
Che la serie di Taylor converga ovunque lo dimostri velocemente col criterio del rapporto.
Grazie mille gugo!!
Allora sono intere anche per [tex]n<0[/tex] ed intero, visto che non sono indipendenti ma
[tex]J_{-n} = (-1)^n J_n[/tex]
...?
Allora sono intere anche per [tex]n<0[/tex] ed intero, visto che non sono indipendenti ma
[tex]J_{-n} = (-1)^n J_n[/tex]
...?
Direi di sì.
La proprietà di convergenza della serie si estende naturalmente al caso d'indice non intero [text]$\nu >0$[/tex]; ma per indici non interi negativi ci sono problemi.
La proprietà di convergenza della serie si estende naturalmente al caso d'indice non intero [text]$\nu >0$[/tex]; ma per indici non interi negativi ci sono problemi.