Serie di potenze: convergenza uniforme sui compatti?
Buonasera a tutti.
Ho gentilmente bisogno del vostro aiuto per risolvere una questione (forse non particolarmente furba, ma che non riesco a risolvere da solo).
Consideriamo il seguente
Teorema. Sia data una serie di potenze [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty } c_nx^n $[/tex] dove i [tex]c_n \in \mathbb{R}[/tex] si intendono fissati. Supponiamo che la serie converga per [tex]x = x_{0} \neq 0[/tex]. Allora, per ogni [tex]h[/tex] ([tex]0 < h < |x_0|[/tex]) la serie risulta convergere uniformemente in $[-h,h]$.
Prima della dimostrazione, ho scritto negli appunti un'osservazione: dal teorema precedente segue che in $(-|x_0|,|x_0|)$ abbiamo assicurata la convergenza puntuale; in generale, però, in tale aperto, non abbiamo la convergenza uniforme.
Il problema sta proprio in questa osservazione: il teorema mi dice che la serie converge uniformemente in ogni chiuso contenuto dentro l'intervallo $(-|x_0|,|x_0|)$. So che agli estremi il comportamento della serie va studiato a parte, ma proprio non capisco: perchè non ho convergenza uniforme sull'aperto?
Su wikipedia ho letto che la convergenza uniforme è garantita su ogni sottoinsieme compatto del disco ${x " tale che " |x-x_0|
Grazie in anticipo.
Ho gentilmente bisogno del vostro aiuto per risolvere una questione (forse non particolarmente furba, ma che non riesco a risolvere da solo).
Consideriamo il seguente
Teorema. Sia data una serie di potenze [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty } c_nx^n $[/tex] dove i [tex]c_n \in \mathbb{R}[/tex] si intendono fissati. Supponiamo che la serie converga per [tex]x = x_{0} \neq 0[/tex]. Allora, per ogni [tex]h[/tex] ([tex]0 < h < |x_0|[/tex]) la serie risulta convergere uniformemente in $[-h,h]$.
Prima della dimostrazione, ho scritto negli appunti un'osservazione: dal teorema precedente segue che in $(-|x_0|,|x_0|)$ abbiamo assicurata la convergenza puntuale; in generale, però, in tale aperto, non abbiamo la convergenza uniforme.
Il problema sta proprio in questa osservazione: il teorema mi dice che la serie converge uniformemente in ogni chiuso contenuto dentro l'intervallo $(-|x_0|,|x_0|)$. So che agli estremi il comportamento della serie va studiato a parte, ma proprio non capisco: perchè non ho convergenza uniforme sull'aperto?
Su wikipedia ho letto che la convergenza uniforme è garantita su ogni sottoinsieme compatto del disco ${x " tale che " |x-x_0|
Grazie in anticipo.

Risposte
Eh, questo è un concetto che non riuscivo a capire nemmeno io. Infatti io pensavo: se la convergenza di una successione di funzioni è uniforme su ogni compatto contenuto in un aperto, sarà uniforme su tutto l'aperto - logico, no?
NO! Infatti è sbagliato. Un esempio illuminante di successione di funzioni che converge uniformemente sulle parti compatte di $RR$ ma NON uniformemente su $RR$ è
$f_n(x)=1/n x$.
Disegnati qualche grafico, sono proprio immediati, e riflettici un po' su.
NO! Infatti è sbagliato. Un esempio illuminante di successione di funzioni che converge uniformemente sulle parti compatte di $RR$ ma NON uniformemente su $RR$ è
$f_n(x)=1/n x$.
Disegnati qualche grafico, sono proprio immediati, e riflettici un po' su.
In effetti, il tuo esempio è perfetto.
Il limite puntuale è ovviamente la funzione nulla; ma la convergenza uniforme ce l'ho solo sui compatti. E questo si vede facilmente: infatti, su $RR$ le funzioni non sono limitate (sono rette!), su un compatto invece sì, per il teorema di Weiestrass e il valore del massimo tende a $0$ per $n to +oo$.
Mi hai quasi convinto, lo ammetto, anche se continua a "sfuggirmi" qualcosa. Che cos'è che fa fallire la faccenda? Perchè non ho convergenza uniforme su tutto l'aperto? I compatti sono così "speciali"? (in effetti solo per loro vale il th di Weierstrass...)
Grazie mille per l'aiuto.
P.S. Felice di ripercorrere le tue orme, dissonance
: è bello sapere di non essere l'unico a porsi certi quesiti.
Il limite puntuale è ovviamente la funzione nulla; ma la convergenza uniforme ce l'ho solo sui compatti. E questo si vede facilmente: infatti, su $RR$ le funzioni non sono limitate (sono rette!), su un compatto invece sì, per il teorema di Weiestrass e il valore del massimo tende a $0$ per $n to +oo$.
Mi hai quasi convinto, lo ammetto, anche se continua a "sfuggirmi" qualcosa. Che cos'è che fa fallire la faccenda? Perchè non ho convergenza uniforme su tutto l'aperto? I compatti sono così "speciali"? (in effetti solo per loro vale il th di Weierstrass...)
Grazie mille per l'aiuto.
P.S. Felice di ripercorrere le tue orme, dissonance


Se vuoi saperlo questa domanda mi è rimasta particolarmente impressa perché saltò fuori durante un esame! Quindi è buona cosa che tu ti tolga il dubbio adesso e non davanti ad una lavagna con una commissione che ti osserva.
In effetti la differenza "vera" tra convergenza uniforme e convergenza uniforme sulle parti compatte la apprezzi bene solo più avanti, in un contesto di analisi funzionale. Infatti succede che la prima proviene da una topologia di spazio normato, la seconda da una topologia meno vantaggiosa (di spazio localmente convesso). Al momento le due convergenze ti sembrano uguali perché entrambe verificano IL teorema, fondamentale, che sicuramente hai già visto: una successione di funzioni continue converge uniformemente ad una funzione continua. E' un esercizio molto semplice dimostrare che questo vale ancora se richiedi solo la convergenza uniforme sulle parti compatte. (*)
Comunque già adesso differenze ci sono: per esempio puoi dimostrare che se una successione di funzioni converge uniformemente ad una funzione limitata, allora (almeno da un certo indice in poi) gli elementi della successione sono funzioni limitate. Con la convergenza uniforme sui compatti questo non è vero e abbiamo appena visto un esempio.
P.S.: (*) Ho dimenticato di specificare: le funzioni sono da considerarsi definite in un sottoinsieme di $RR$ o di $RR^n$ e a valori in uno spazio metrico.

In effetti la differenza "vera" tra convergenza uniforme e convergenza uniforme sulle parti compatte la apprezzi bene solo più avanti, in un contesto di analisi funzionale. Infatti succede che la prima proviene da una topologia di spazio normato, la seconda da una topologia meno vantaggiosa (di spazio localmente convesso). Al momento le due convergenze ti sembrano uguali perché entrambe verificano IL teorema, fondamentale, che sicuramente hai già visto: una successione di funzioni continue converge uniformemente ad una funzione continua. E' un esercizio molto semplice dimostrare che questo vale ancora se richiedi solo la convergenza uniforme sulle parti compatte. (*)
Comunque già adesso differenze ci sono: per esempio puoi dimostrare che se una successione di funzioni converge uniformemente ad una funzione limitata, allora (almeno da un certo indice in poi) gli elementi della successione sono funzioni limitate. Con la convergenza uniforme sui compatti questo non è vero e abbiamo appena visto un esempio.
P.S.: (*) Ho dimenticato di specificare: le funzioni sono da considerarsi definite in un sottoinsieme di $RR$ o di $RR^n$ e a valori in uno spazio metrico.
Capisco. Sì penso anche io sia bene chiarire adesso e evitare papere all'esame
Comunque, aspetterò un corso di Analisi funzionale per apprezzare meglio la faccenda. Per quanto riguarda il risultato che citi ($f_n to f$ unif su $I$ e $f$ limitata $=>$ $f_n$ limitate almeno definitivamente), la dimostrazione dovrebbe essere qualcosa del genere.
Fissiamo un $epsilon>0$; sappiamo che in corrispondenza di detto $epsilon$ possiamo trovare un $n_0 in NN$ tale che se $n>n_0$ risulta $|f_n(x)-f(x)|
$-epsilon-M<=-epsilon+f(x)<=f_n(x)<=epsilon + f(x)<=epsilon + M$ da cui si vede che le $f_n(x)$, per $n > n_0$, sono limitate ($|f_n(x)|<=M+epsilon$).
Ci siamo? Grazie ancora.


Comunque, aspetterò un corso di Analisi funzionale per apprezzare meglio la faccenda. Per quanto riguarda il risultato che citi ($f_n to f$ unif su $I$ e $f$ limitata $=>$ $f_n$ limitate almeno definitivamente), la dimostrazione dovrebbe essere qualcosa del genere.
Fissiamo un $epsilon>0$; sappiamo che in corrispondenza di detto $epsilon$ possiamo trovare un $n_0 in NN$ tale che se $n>n_0$ risulta $|f_n(x)-f(x)|
Ci siamo? Grazie ancora.

Esatto. Abituati ad usare la disuguaglianza triangolare inversa:
$|\ |f_n| - |f|\ | <= |f_n - f|$
da cui, se $|f_n - f|<= \epsilon$, è anche $|f_n| <= \epsilon + |f|$ e quindi la tesi. Mi pare più veloce del metodo (comunque corretto) usato da te.
$|\ |f_n| - |f|\ | <= |f_n - f|$
da cui, se $|f_n - f|<= \epsilon$, è anche $|f_n| <= \epsilon + |f|$ e quindi la tesi. Mi pare più veloce del metodo (comunque corretto) usato da te.
Ehhh... conoscerli i tuoi trucchetti
Non la conoscevo questa disuguaglianza, ma pare da subito molto comoda. La terrò a mente. Grazie mille per l'aiuto.
Alla prossima.


Non la conoscevo questa disuguaglianza, ma pare da subito molto comoda. La terrò a mente. Grazie mille per l'aiuto.
Alla prossima.

Quante storie... La cosa è molto più semplice di quanto non sembri. 
Prendi [tex]\sum x^n[/tex], ossia la serie geometrica di ragione [tex]$x$[/tex]: essa è una serie di potenze (i cui coefficienti sono tutti [tex]$=1$[/tex] ed il cui punto iniziale è [tex]$0$[/tex]) ed è elementare verificare che essa converge in [tex]$]-1,1[$[/tex] (roba di Analisi I, eh).
Com'è la convergenza?
Prendiamo un conpatto [tex]$K\subseteq ]-1,1[$[/tex]; visto che [tex]$K$[/tex] si tiene lontano dal bordo di [tex]$]-1,1[$[/tex], lo possiamo pensare racchiuso in un intervallo del tipo [tex]$[-h,h]$[/tex] con [tex]$0\leq h<1$[/tex]; dato che:
[tex]$\max_K |x^n| \leq \max_{[-h,h]} |x|^n =h^n$[/tex]
e che la serie numerica [tex]\sum h^n[/tex] converge, la serie [tex]\sum x^n[/tex] converge totalmente (e quindi uniformemente ed assolutamente) in [tex]$[-h,h]$[/tex] ed, a fortiori, in [tex]$K$[/tex].
Da Analisi I è altresì noto che:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n =\frac{1}{1-x}$[/tex]
per [tex]$x\in ]-1,1[$[/tex], cosicché [tex]$\tfrac{1}{1-x}$[/tex] è la somma della tua serie di potenze.
Può [tex]\sum x^n[/tex] convergere uniformemente a [tex]$\tfrac{1}{1-x}$[/tex] in tutto [tex]$]-1,1[$[/tex]? Vediamo.
Prendiamo [tex]$N\in \mathbb{N}$[/tex] e, ricordando l'espressione della somma parziale [tex]$N$[/tex]-esima della serie geometrica, si può scrivere per il resto [tex]$N$[/tex]-esimo l'espressione:
[tex]$R_N (x) := \frac{1}{1-x} -\sum_{n=0}^N x^n = \frac{x^{N+1}}{1-x}$[/tex],
cosicché:
[tex]$\sup_{]-1,1[} |R_N(x)|=+\infty$[/tex];
ne consegue che la serie non può convergere uniformemente in tutto [tex]$]-1,1[$[/tex] alla sua somma.

Prendi [tex]\sum x^n[/tex], ossia la serie geometrica di ragione [tex]$x$[/tex]: essa è una serie di potenze (i cui coefficienti sono tutti [tex]$=1$[/tex] ed il cui punto iniziale è [tex]$0$[/tex]) ed è elementare verificare che essa converge in [tex]$]-1,1[$[/tex] (roba di Analisi I, eh).
Com'è la convergenza?
Prendiamo un conpatto [tex]$K\subseteq ]-1,1[$[/tex]; visto che [tex]$K$[/tex] si tiene lontano dal bordo di [tex]$]-1,1[$[/tex], lo possiamo pensare racchiuso in un intervallo del tipo [tex]$[-h,h]$[/tex] con [tex]$0\leq h<1$[/tex]; dato che:
[tex]$\max_K |x^n| \leq \max_{[-h,h]} |x|^n =h^n$[/tex]
e che la serie numerica [tex]\sum h^n[/tex] converge, la serie [tex]\sum x^n[/tex] converge totalmente (e quindi uniformemente ed assolutamente) in [tex]$[-h,h]$[/tex] ed, a fortiori, in [tex]$K$[/tex].
Da Analisi I è altresì noto che:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n =\frac{1}{1-x}$[/tex]
per [tex]$x\in ]-1,1[$[/tex], cosicché [tex]$\tfrac{1}{1-x}$[/tex] è la somma della tua serie di potenze.
Può [tex]\sum x^n[/tex] convergere uniformemente a [tex]$\tfrac{1}{1-x}$[/tex] in tutto [tex]$]-1,1[$[/tex]? Vediamo.
Prendiamo [tex]$N\in \mathbb{N}$[/tex] e, ricordando l'espressione della somma parziale [tex]$N$[/tex]-esima della serie geometrica, si può scrivere per il resto [tex]$N$[/tex]-esimo l'espressione:
[tex]$R_N (x) := \frac{1}{1-x} -\sum_{n=0}^N x^n = \frac{x^{N+1}}{1-x}$[/tex],
cosicché:
[tex]$\sup_{]-1,1[} |R_N(x)|=+\infty$[/tex];
ne consegue che la serie non può convergere uniformemente in tutto [tex]$]-1,1[$[/tex] alla sua somma.

[OT] Beh si in effetti questa
potevo risparmiarmela...
Ho notato che quando uno è principiante, come me, tende ad usare eccessivamente gli strumenti più avanzati. Si vede che la valutazione accurata dei giusti strumenti da sfoderare viene con l'esperienza. [/OT]
Comunque sia, il discorso sulle successioni di funzioni limitate che abbozzavo sopra è secondo me più azzeccato. Anche nell'esempio della serie geometrica succede qualcosa di analogo: la somma della serie $1/(1-x)$ non è una funzione limitata in $(-1, 1)$, dunque come potrebbe la successione
$S_n(x)=1+x+x^2+...+x^n$
che è costituita da funzioni limitate, convergervi uniformemente? Siamo sempre lì: la convergenza uniforme vuole una sorta di "chiusura" rispetto alla limitatezza - successioni di funzioni limitate non possono convergere uniformemente a funzioni non limitate e viceversa. Il tutto non vale più se si prende la convergenza uniforme sulle parti compatte.
In effetti la differenza "vera" tra convergenza uniforme e convergenza uniforme sulle parti compatte la apprezzi bene solo più avanti, in un contesto di analisi funzionale. Infatti succede che la prima proviene da una topologia di spazio normato, la seconda da una topologia meno vantaggiosa (di spazio localmente convesso).
potevo risparmiarmela...

Ho notato che quando uno è principiante, come me, tende ad usare eccessivamente gli strumenti più avanzati. Si vede che la valutazione accurata dei giusti strumenti da sfoderare viene con l'esperienza. [/OT]
Comunque sia, il discorso sulle successioni di funzioni limitate che abbozzavo sopra è secondo me più azzeccato. Anche nell'esempio della serie geometrica succede qualcosa di analogo: la somma della serie $1/(1-x)$ non è una funzione limitata in $(-1, 1)$, dunque come potrebbe la successione
$S_n(x)=1+x+x^2+...+x^n$
che è costituita da funzioni limitate, convergervi uniformemente? Siamo sempre lì: la convergenza uniforme vuole una sorta di "chiusura" rispetto alla limitatezza - successioni di funzioni limitate non possono convergere uniformemente a funzioni non limitate e viceversa. Il tutto non vale più se si prende la convergenza uniforme sulle parti compatte.
@dissonance: Evidentemente scherzavo... Ho messo anche la faccina!
Poi, è anche un limite cercare sempre spiegazioni semplici che purtroppo non sempre ci sono.
La situazione, grosso modo, è quella illustrata di seguito.
Prendiamo un insieme [tex]$X$[/tex] non vuoto in uno spazio topologico carino.
La convergenza uniforme è qualcosa che non è definibile con tranquillità in [tex]$C(X)$[/tex], per il semplice fatto che le funzioni nonnegative di [tex]$C(X)$[/tex] non sono tenute ad avere estremo superiore finito.
In quale spazio ha allora senso definire la convergenza uniforme?
Beh, visto che ci serve calcolare degli estremi superiori dei valori assoluti e ci serve che tali estremi siano finiti, basta prendere lo spazio [tex]$B(X)$[/tex] delle funzioni limitate in [tex]$X$[/tex]: infatti se prendo [tex]$u,v \in B(X)$[/tex] allora la funzione [tex]$d_\infty(u,v):=\lVert u-v\rVert_\infty =\sup_X |u-v|$[/tex] è ben definita ed è una metrica in [tex]$B(X)$[/tex].
Se una successione [tex]$(u_n)$[/tex] di [tex]$B(X)$[/tex] converge in metrica [tex]$d_\infty$[/tex], allora il limite è ancora in [tex]$B(X)$[/tex], perchè:
[tex]$\sup_X |u|\leq \sup_X |u_n| +\lVert u-u_n\rVert_\infty <+\infty$[/tex];
in più [tex]$B(X)$[/tex] è completo (infatti se [tex]$(u_n)$[/tex] è di Cauchy in metrica, allora per ogni [tex]$x\in X$[/tex] la successione numerica [tex]$(u_n(x))$[/tex] è di Cauchy e convergente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]; la funzione [tex]$u(x):=\lim_n u_n(x)$[/tex] è limitata ed è il limite di [tex]$(u_n)$[/tex] in metrica).
Quindi, riassumendo, se una successione di funzioni limitate converge uniformemente in un insieme [tex]$X$[/tex], la funzione limite ha da essere necessariamente limitata in [tex]$X$[/tex].
Poi, è anche un limite cercare sempre spiegazioni semplici che purtroppo non sempre ci sono.
La situazione, grosso modo, è quella illustrata di seguito.
Prendiamo un insieme [tex]$X$[/tex] non vuoto in uno spazio topologico carino.
La convergenza uniforme è qualcosa che non è definibile con tranquillità in [tex]$C(X)$[/tex], per il semplice fatto che le funzioni nonnegative di [tex]$C(X)$[/tex] non sono tenute ad avere estremo superiore finito.
In quale spazio ha allora senso definire la convergenza uniforme?
Beh, visto che ci serve calcolare degli estremi superiori dei valori assoluti e ci serve che tali estremi siano finiti, basta prendere lo spazio [tex]$B(X)$[/tex] delle funzioni limitate in [tex]$X$[/tex]: infatti se prendo [tex]$u,v \in B(X)$[/tex] allora la funzione [tex]$d_\infty(u,v):=\lVert u-v\rVert_\infty =\sup_X |u-v|$[/tex] è ben definita ed è una metrica in [tex]$B(X)$[/tex].
Se una successione [tex]$(u_n)$[/tex] di [tex]$B(X)$[/tex] converge in metrica [tex]$d_\infty$[/tex], allora il limite è ancora in [tex]$B(X)$[/tex], perchè:
[tex]$\sup_X |u|\leq \sup_X |u_n| +\lVert u-u_n\rVert_\infty <+\infty$[/tex];
in più [tex]$B(X)$[/tex] è completo (infatti se [tex]$(u_n)$[/tex] è di Cauchy in metrica, allora per ogni [tex]$x\in X$[/tex] la successione numerica [tex]$(u_n(x))$[/tex] è di Cauchy e convergente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]; la funzione [tex]$u(x):=\lim_n u_n(x)$[/tex] è limitata ed è il limite di [tex]$(u_n)$[/tex] in metrica).
Quindi, riassumendo, se una successione di funzioni limitate converge uniformemente in un insieme [tex]$X$[/tex], la funzione limite ha da essere necessariamente limitata in [tex]$X$[/tex].
Rieccomi.
Grazie, Gugo, per essere intervenuto. E' vero, non ci avevo pensato: il tuo controesempio è molto figo, soprattutto perchè semplice.
Ora ho capito che cosa c'è sotto e la questione sollevata da dissonance per quanto riguarda la limitatezza me la sono segnata e la terrò a mente.
Per una comprensione ottimale dell'argomento, comunque, penso di dover attendere ancora qualche settimana: il tempo di studiare i compatti in Topologia (ho capito che sono importanti, ma non avendoli mai studiati in generale sicuramente mi manca ancora qualche pezzo).
Vi ringrazio ancora per il vostro aiuto.
Grazie, Gugo, per essere intervenuto. E' vero, non ci avevo pensato: il tuo controesempio è molto figo, soprattutto perchè semplice.
Ora ho capito che cosa c'è sotto e la questione sollevata da dissonance per quanto riguarda la limitatezza me la sono segnata e la terrò a mente.
Per una comprensione ottimale dell'argomento, comunque, penso di dover attendere ancora qualche settimana: il tempo di studiare i compatti in Topologia (ho capito che sono importanti, ma non avendoli mai studiati in generale sicuramente mi manca ancora qualche pezzo).
Vi ringrazio ancora per il vostro aiuto.
