Serie di potenze con seno

mazzy89-votailprof
ho problemi nella risoluzione della seguente serie di potenze. il seno mi da non pochi fastidi

$sum_{n=1}^oo sin(sqrtn)/(2n)(x-1)^n$

provando ad applicare Cauchy-Hadamard ottengo il limite per $n to oo$ del $sin(sqrtn)$.ma la funzione seno è una funzione limitata tra $-1$ e $1$ e non ammette limite

Risposte
gugo82
Prova ad applicare la versione generale di Cauchy-Hadamard, ossia calcola [tex]$L=\limsup_n \sqrt[n]{\left| \frac{\sin \sqrt{n}}{2n}\right|}$[/tex] e ricorda che [tex]$\rho =\frac{1}{L}$[/tex].

Forse ti potrebbe essere utile ricordare che, essendo la successione [tex]$a_m:=\sin m$[/tex] densa in [tex]$[-1,1]$[/tex], anche la successione [tex]$b_n:=\sin \sqrt{n}$[/tex] è densa in [tex]$[-1,1]$[/tex], ergo puoi trovare una successione crescente [tex]$(n_k)$[/tex] di numeri naturali tali che [tex]$\lim_k \sin \sqrt{n_k} = 1$[/tex].

mazzy89-votailprof
"gugo82":


Forse ti potrebbe essere utile ricordare che, essendo la successione [tex]$a_m:=\sin m$[/tex] densa in [tex]$[-1,1]$[/tex], anche la successione [tex]$b_n:=\sin \sqrt{n}$[/tex] è densa in [tex]$[-1,1]$[/tex], ergo puoi trovare una successione crescente [tex]$(n_k)$[/tex] di numeri naturali tali che [tex]$\lim_k \sin \sqrt{n_k} = 1$[/tex].


mmm non ho la minima idea di cosa hai detto.Cosa si intende per "densa"? io sono arrivato al limite uguale ad $1$ approsimando $sinsqrtn$ a $sqrtn$

Ma pensandoci si può approssimare $sinsqrt(n)$ ad $sqrt(n)$? E' corretto come passaggio?

mazzy89-votailprof
Ecco un'altra serie di potenze con il seno che non riesco a risolvere:

$sum_{n=1}^oo root(3)sinn*x^n$

applicando sia il criterio di d'alambert che quello di Cauchy-Hadamard mi ritrovo davanti ad un limite per $n to oo$ $sinn$

Anche il Derive si rifiuta di fare il limite! :evil:

mazzy89-votailprof
Anche su wiki:



La funzione seno oscilla indefinitivamente fra $-1$ e $+ 1$, e quindi non tende a nessun limite preciso per $x to oo$ . Quest'affermazione si dimostra formalmente grazie al primo teorema delle restrizioni: siccome la restrizione del seno ai valori $pi/2+2kpi$ è costantemente $1$ e la restrizione a $-pi/2+2kpi$ è costantemente $-1$, la funzione seno non può ammettere limite globale. Quindi:

$lim_(x to oo) sinx=$indefinito

o più rigorosamente:

$\nexists lim_(x to +oo) sinx$



ma allora come si può fare?

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