Serie di potenze con seno
Salve ragazzi devo determinare l'insieme di convergenza, studiare la convergenza totale e uniforme della seguente serie di funzioni:
$ sum_(n=1)^(+oo) (1+1/2^n)/n(sinx)^n $
Ovviamente pongo $ t=sinx $ e studio la serie $ sum_(n=1)^(+oo) (1+1/2^n)/n(t)^n $
Uso d'Alembert:
$ lim_(n->+oo)|((2\cdot 2^n + 1)(n\cdot2^n))/(2\cdot2^n\cdot(n+1)\cdot(2^n+1))|=lim_(n->+oo)|n/(n+1)(2^n(2+1/2^n))/(2^n(2+2/2^n))|=1=R^-1=R $
A questo punto l'insieme di convergenza è $ tin (-1,1) $
Controllo gli estremi:
per $ t=1 $ studio la serie $ sum (1+1/2^n)/n $ che diverge poichè $ (2^n+1)/(n2^n) ~_(n->+oo) 1/n $
per $ t=-1 $ studio la serie $ sum (-1)^n(1+1/2^n)/n $ che converge per Leibinz ( $ a_n $ infinitesimo e decrescente)
Conclusioni:
$ tin(-1,1) $ significa -1
CONVERGENZA PUNTUALE quando $ x in D={x in RR|x!=pi/2+kpi} $
CONVERGENTA TOTALE quando $ x in [a,b]sub D={x in RR|x!=pi/2+kpi} $ (in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto nell'intevallo di convergenza puntuale)
CONVERGENZA UNIFORME: dal momento che totale implica uniforme, abbiamo sicuramente convergenza uniforme in ogni intervallo per cui c'è convergenza totale. Ma c'è un di più dovuto al teorema di Abel: avendo verificato che per t=-1 la serie converge, allora c'è convergenza uniforme in ogni intervallo [-1,a].
E' corretto il mio ragionamento?
$ sum_(n=1)^(+oo) (1+1/2^n)/n(sinx)^n $
Ovviamente pongo $ t=sinx $ e studio la serie $ sum_(n=1)^(+oo) (1+1/2^n)/n(t)^n $
Uso d'Alembert:
$ lim_(n->+oo)|((2\cdot 2^n + 1)(n\cdot2^n))/(2\cdot2^n\cdot(n+1)\cdot(2^n+1))|=lim_(n->+oo)|n/(n+1)(2^n(2+1/2^n))/(2^n(2+2/2^n))|=1=R^-1=R $
A questo punto l'insieme di convergenza è $ tin (-1,1) $
Controllo gli estremi:
per $ t=1 $ studio la serie $ sum (1+1/2^n)/n $ che diverge poichè $ (2^n+1)/(n2^n) ~_(n->+oo) 1/n $
per $ t=-1 $ studio la serie $ sum (-1)^n(1+1/2^n)/n $ che converge per Leibinz ( $ a_n $ infinitesimo e decrescente)
Conclusioni:
$ tin(-1,1) $ significa -1
CONVERGENZA PUNTUALE quando $ x in D={x in RR|x!=pi/2+kpi} $
CONVERGENTA TOTALE quando $ x in [a,b]sub D={x in RR|x!=pi/2+kpi} $ (in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto nell'intevallo di convergenza puntuale)
CONVERGENZA UNIFORME: dal momento che totale implica uniforme, abbiamo sicuramente convergenza uniforme in ogni intervallo per cui c'è convergenza totale. Ma c'è un di più dovuto al teorema di Abel: avendo verificato che per t=-1 la serie converge, allora c'è convergenza uniforme in ogni intervallo [-1,a].
E' corretto il mio ragionamento?
Risposte
Per me è quasi tutto perfetto 
Forse ho sbagliato l'intervallo di convergenza uniforme: il valore -1 è associato alla serie con $ t=sinx $
quindi
$ sinx=-1 $ => $ x=3/2pi + 2kpi $
E' sbagliato dire che l'intervallo di convergenza uniforme è:
$ [3/2pi+2kpi,a] $ con $ a!=pi/2+kpi $ ?
quindi
$ sinx=-1 $ => $ x=3/2pi + 2kpi $
E' sbagliato dire che l'intervallo di convergenza uniforme è:
$ [3/2pi+2kpi,a] $ con $ a!=pi/2+kpi $ ?
In realtà dovresti scrivere con $k$ fissato $[a, 3\pi/2+2k\pi]$ con $\pi/2+2k\pi < a \leq 3\pi/2+2k\pi$
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